Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(ui + u2) ~ (Ui-U2)приложения 585
определим нормальные координаты, полагая
„ _Ui-Ui Ui + U2
qi~TT' qt==-yf <п-5-7)
(постоянный множитель Y2 выбран для удобства). Решая (П.5.7) относительно M1 и и2, получим
уТ V7I
«і = —— (<?i + <?a), U2=-^j-(q2 — qi). (П.5.8)
Выразим теперь кинетическую энергию 5" и потенциальную Ф через нормальные координаты qi к q2 к обобщенные скорости ^1 и q2. Кинетическая энергия
5 = f w + ia)=f (Й + Й). (П.5.9)
Потенциальная энергия
Ф = у {? ("і + «Ї) + V ("і - "з)'}{(? + V) + «4) - 2y«i«,}.
В этом легко убедиться, вычисляя силы —дФ/ди-i и —дФ/ди2, действующие на частицы. Подставляя в Ф нормальные координаты по формулам (П.5.8), получим
Ф=^Ші+<?Чї). (П.5.10)
Таким образом, функция Лагранжа
X = + + (П.5.11)
Мы видим, что X в нормальных координатах qi и соответствующих обобщенных скоростях qi свелась к сумме квадратов (не содержит смешанных членов, например, пропорциональных qiq2). Легко видеть, что это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы каждая из координат гармонически зависела от времени. Напишем уравнения Лаграижа второго рода
=0 для функции Лагранжа (П.5.11). Имеем
d дХ дХ
dt dqi dqі
d дХ ¦• дХ а
=m,i7i и —=—maaqi,
откуда
dt dqi dqi
41+«$Ql = O U=I. 2). (П.5.12)
Мы видим, что qi ^ e 'в согласии с тем, что мы имели выше. В силу того, что Ф, а следовательно, и функция Лагранжа Х=5—Ф содержат в переменных Ui смешанный член —2уихи2 в уравнениях движения (П.5.1) переменные Ui и U2 не разделяются. Поэтому каждая из координат Ui зависит от времени не гармонически, а более сложно.
Введем обобщенные импульсы, соответствующие нормальным координатам qi, Pi= дХ/ dqi = mqi. Функция Гамильтона нашей системы
ЯНч, (п.5.13)
т. е. тоже содержит только квадраты канонических переменных q и р. Можно сказать, что задача определения нормальных координат системы состоит в приведении функции Гамильтона к сумме квадратов q и р.586
приложения
Приложение 6
Вычислим две суммы
L=^et9a" и M = Zelga",
(П.6.1)
где вектор прямой решетки
3
а„ = Iifli + "202 + п3а3 = 2 nk°k («ft=1. 2. З.....G) (П.б.іа)
A = 1
и волновой вектор
3
4=^-(gibi + g2bi + g3b3) = Yi-^bi(-~<gi<~^ (П.6.16)
1=1
как это следует из условий цикличности Борна — Кармана (§ 5, п. 6). Сумма L является трехмерным обобщением выражения (4.5). Первая сумма
, (п.6.2)
где мы использовали условие: й,-аА = 2яб,-? (см. (1.3.9)).
1) дФО, тогда хотя бы одно gi Ф О и, следовательно, соответствующее
- 3 3 3
L= Xl exP . 1 1G" ^gibl Xl nkak = Xl ЄХР 2яі V -Q-ZaSini
л,л,л, »•=1 A=I Tl1FliTli . ;=і
В этом случае
'''ssexP (тг^)К l= 2 1I11V " 2
(П.6.3)
л,л,л,
НО
? V=it+i? + ...+If=Id^il=о,
так как U = ехр 2m"g/= 1, а знаменатель, согласно (П.6.3), отличен от нуля. Таким образом, в этом случае L = 0.
2) 9 = 0, т. е. все ^i = O; тогда все/,= 1 и L= 2 I"11"! 1"'= 2 1 =
I1TltTl1 TliTltIl,
= G3 = N= числу ячеек основной области кристалла.
Ясно, что случай q = b —вектору обратной решетки эквивалентен случаю Q = 0.
Таким образом,
L=Zelqan^m
1"в
где, в частности, bg =0.
Вторая сумма
M= Xl exP gigigi
2яі
Xl S'ni
і= 1
(П.6.4)
(П.6.5)
1J Удобно считать, что G—большое нечетное число.ПРИЛОЖЕНИЯ
587.
Обозначим через
(Ini \
m,-=exp I-Q- щJ , (П.6.6)
тогда
м= S mIlmI'mV- (П.6,7)
StSiSs
Рассмотрим опять два случая:
1) ап Ф 0, тогда хотя бы одно ti; Ф 0 соответствует ті Ф I. В этом случае сумма M имеет множитель
G-1
~~~ C-I G-3 G-I
2 mV=mi 2 +щ 2 +-.- + W1- а =
C-I
C-I C-I j __mG
= mt 2 [!+«,-+.,.+mf-1] = «,. 2 TZ^J=O,
так числитель 1—m?=l—exp (2яш/)= 1—1=0, а знаменатель отличен от нуля. "
2) а„ = 0 тогда все п,- = 0 и, следовательно, все /п,-=1, в этом случае, так же как и в предыдущем, сумма M = N. Таким образом,
Iqan -
M = Je =Nban0. (П.6.8)
я
Приложение 7
1. Приведем некоторые определенные интегралы, часто встречающиеся при изучении теории полупроводников 1J.
оо X __
j e-ax'dx = 2^e-ax'dx = ^r, (П.7.1)
О
QD СО
J e-M>x*dx = 2 = (П.7.2)
-<о 0 а 00 00 __
J е-dx =2 Jе-axV(11=1?-, (П.7.3)
-OD 0 а
CD
I^4=P <П-7-4)
О
оо
Je-wVdx=Jj,. (П.7.5) о
OO
J (TajtW*=-J-. (П.7.6)
1J Вывод этих формул можно найти, например, у Смирнова В. И., т. 2, с. 258,588 ПРИЛОЖЕНИЯ
2. Определим гамма-функцию Г (г) посредством равенства
00
Г (г) =J х*-Ч-* dx. (П.7.7)
о
Определенный интеграл в правой части, взятый по вещественной переменной X, зависит от г, как от параметра. Равенство (П.7.7) определяет гамма-функ-цию для любых комплексных значений г с положительной вещественной частью. Выведем важное рекуррентное соотношение
Г(г+1) = гГ(г). (П. 7.8)
Интегрируя по частям, получим
оо 00 «
Г(г+ l)=^x*e-*dx=— J x*de-* = — xze-* j J +J zxz~1e~xdx= оо о
X
= Z J хг~Ч~х dx = zV (г), о
Для того, чтобы определить значение Г (г) для целых и полуцелых значений z, вычислим