Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
3. Если в квадратной матрице отличны от нуля только элементы, стоящие вдоль главной диагонали, она называется диагональной и ее элементы равны
Dik=Afiijt, (П.3.19)
где 6ih—символ Кроиикера.
Единичной матрицей E называется диагональная матрица, все элементы которой равны единице
Eik = Sik. (П.3.20)
Пользуясь правилом умножения матриц (П.3.15), легко показать, что для любой матрицы a
Ea=UE=O.. (П.3.21) 578
приложения
Под нулевой матрицей 0 понимают матрицу, все элементы которой равны нулю. Очевидно, что для произвольной матрицы а
Oa = аО = 0. (П.3.22)
Под произведением матрицы а на число с понимают матрицу с элементами Под суммой матриц а и ? одного ранга понимают матрицу у с элементами Yift = aZA+?/A- Матрица а равна матрице ? тогда и только тогда, когда для ВСеХ ЭЛеМеНТОВ OLik=^ik-
Шпуром (немецкое слово spur—след) или следом матрицы а называется сумма ее диагональных элементов
Sp a = 2 ап- (П.3.23)
і
Иногда шпур матрицы а обозначается как Tr а (английское слово trace — след). Шпур произведения матриц не зависит от их порядка; в самом деле,
Sp (?a) = 2 (Pa)/,' = SS ?i*«W = S (S aft/?/ft) = S («?)ftft = Sp («?)¦ (П.3.24) і і k k і к
Матрица, обратная а, обозначаемая через a_1, осуществляет преобразование, обратное преобразованию (П.3.11), гак что
r = a-V. (П.3.25)
Подставляя сюда (П.3.11), получим
T = O-1Or, (П.3.26)
откуда
a-1U = E—единичная матрица, 1 аналогично > (П.3.27)
aa-1 = ^. J
Эти соотношения справедливы, конечно, и для ортогональных преобразований (П.3.4) и (П.3.6а).
Мы видели (см. (П.3.7)), что матрица, обратная ортогональному преобразованию а-1, есть матрица, получаемая из а заменой в ней строк на столбцы (это эквивалентно «отражению» всех элементов матрицы в главной диагонали); такая матрица называется транспонированной. Обозначая транспонированную матрицу через а, т. е. aik = aki> имеем для ортогонального преобразования
а-1 = «!, (П.3.28)
как это следует из (П.3.7).
Если a—матрица га-го ранга, то матричное уравнение (П.3.27) эквивалентно п2 алгебраических уравнений первой степени для я2 неизвестных Так
как в п из этих уравнений правые части равны единице (в остальных они равны нулю), то я2 неоднородных уравнений имеют решение для неизвестных aJk только тогда, когда определитель | |, составленный из элементов матрицы а, отличен от нуля. Таким образом, матрица а имеет обратную матрицу а-1 только в том случае, когда | a| Ф 0, т. е. матрица а не сингулярная. Легко показать, что
(?a)-1 = O-1P-I (П.3.29)
и
(?a) = a?. (П.3.30)
Из (П.3.27) и (П.3.28) следует, что для ортогонального преобразования
aa = E. (П.3.31)
Так как правило умножения матриц (П.3.15) совпадает с правилом умножения ПРИЛОЖЕНИЯ
578.
определителей г), то
|5||в| = |Я| = 1, (П.3.32)
где I а I —определитель матрицы а. Так как определитель не меняется при замене в нем строк столбцами2), то |а| = |а| и, следовательно,
IaI2=1- (П.3.33)
Следовательно, при ортогональном преобразовании (П.3.2) определитель матрицы преобразования
|а|=±1. (П.3.33а)
Нетрудно показать, что +1 соответствует простому вращению системы, а —1 — вращению, сопровождаемому инверсией, т. е. переходу от правой координатной системы к левой (или наоборот). В самом деле, простой поворот можно представить себе как непрерывный процесс вращения из исходного состояния, в котором обе системы совпадают и которому соответствует тождественное преобразование с матрицей Так как этому преобразованию соответствует определитель I Eih I — I 6(fc I = 1 и при непрерывном вращении он не может измениться скачком, то простому вращению соответствует определитель, равный +1.
При инверсии J: х'.=— X1- (г — 1, 2, 3) и этому преобразованию соответствует определитель I J I — I — \ ——1. Отсюда сразу следует, что любому вращению, сопровождаемому инверсией, тоже соответствует определитель, равный —1. Ортогональные преобразования с определителем, равным +1, получили название собственных вращений (или просто вращений), а ортогональные преобразования с определителем, равным •—1—несобственных вращений.
4. Рассмотрим некоторые важные для приложений матрицы. Обозначим через а* матрицу комплексно-сопряженную с а, так что (a*),-k — a\k-
Под сопряженной матрицей а+ понимается транспонированная, комплексно-сопряженная матрица, т. е. а+=а*, так что a,tk = &ki-
Самосопряженная или эрмитова матрица а обладает свойством а+=«; элементы эрмитовой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, — комплексно-сопряженные.
Унитарной матрицей называется такая, для которой сопряженная равна обратной, т. е.
U+= U-I или UU+=U+U=E. (П.3.34)
Унитарная матрица осуществляет унитарное преобразование, являющееся обобщением ортогонального преобразования. Для того чтобы показать это, вре-дем понятие о внутреннем или эрмитовом скалярном произведении двух n-мерных комплексных векторов а(аъ .......а„) и Ь (Ь1г Ь2, ..., Ьп), которое по
определению равно
(аЬ)=^а\Ь(> (П.3.35)
