Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
575.
Такое разложение всегда возможно и единственно1). Здесь а, ? и у—скалярные множители, которые необходимо определить. Подставляя (П.2.1) в (3.7), получим
Ьаг = ? (O1 [а2а3]) = 2ngi, Ьаг = Y (а2 [a3ail) = 2лg2, &а3 = а(а3 [а1а3]) = 2п^з,
откуда
а__2п?з 2ngi ___2ng2
Qo ^o
Y = -
OU
Из (П.2.1) и (П.2.2) следует (3.8).
(П.2.2)
Приложение 3
1. Рассмотрим две прямоугольные координатные системы (хі, х2, ат3) и (Xi, ат2, д:3), имеющие общее начало координат О. Косинусы углов между осями
обеих систем обозначим через a,-ft = cos (xjxh), где і и & независимо принимают значения 1, 2 и 3. Известно, что
з з
2 aHiaU= S aMaIi = і= і (=1
(П.3.1)
Для /? = / (0?= 1) эти равенства означают, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, а для k^l 6ki = 0—условие перпендикулярности осей Xfl и Xi (или x'k и хі). Известно, что проекция на данное направление (например, Xi) геометрической суммы (радиуса-вектора г) равна сумме проекций составляющих, поэтому
и аналогично
или
Xl = Ci11X1 + Ci12X2 + cx13at3,
Xs =cx21at1 -)- CX22X2 -)- oc23ar3, at3 = cx3jat1 + CC32X2-j- oc33at3,
atj- 2 aIkxA-ft = 1
Запишем (П.3.2) более компактно:
Здесь
/«її « = ( CX2I Xa31
= ar.
«12
cx22 cx32
at3
cx23 oc33
(П.3.2)
(П.3.3)
(ГГ.3.4)
(П.3.5)
— матрица линейного преобразования (П.3.2). Матрица a (П.3.5) третьего ранга,т.е. квадратная таблица, состоящая из трех строк, трех столбцов иЗг = 9 элементов а/к- Если элементы матрицы удовлетворяют условиям (П.3.1)-, то линейное преобразование (П.3.2) называется ортогональным. Обратное преобразование от штрихованных координат x'k к нештрихованным дс,- может быть
1J Смирнов В. И., 1954, т. 2, § 102.576
ПРИЛОЖЕНИЯ
получено аналогично (П.3.2)
X1 = CL11X1 + OL21Xi +a31*3,
хг = а12*і + O22X2 + CC32X3, (П.3.6)
х3 = JX13JCi -| - а23х2 + Cc33Xg1 что может быть записано подобно (П.3,4)
г = о-1г', (П.3.6а)
где а-1—матрица обратного преобразования (П.3.6).
Мы видим, что матрица обратного ортогонального преобразования а_ї (П.3.6) может быть получена из матрицы прямого ортогонального преобразования а (П.3.2) посредством замены строк на столбцы, т. е.
(а~ 1Uk = Mu- (П.3.7)
Скалярное произведение векторов а и ft равно
^ з з
аЪ=аЬ cos (a, ft) = 2 aA'= 2 (П.3.8)
?=1 i=i
где at, bi—составляющие векторов а и ft в координатной системе (х[, х2,х3). Последний переход в этих равенствах следует как из геометрического смысла скалярного произведения, так и формально, если выразить а,- и 6,- через ai и bi по формулам (П.3.6) и воспользоваться условиями ортогональности (П .3.1).
2. Обобщая (П.3.2), запишем общее однородное линейное преобразование п переменных в виде
X1 = Oi11X1 + CC12X2 + ... +OlnXn,
X2 = Ot21X1+ Oc22X2+ ... +о.2пхп, (П.3.9)
Xn — OCnlX1 + CCn2X2+ . . . +OtffljXn
Xi= 2 а/Л (1 = 1, 2.....л), (П.3.10)
к= 1
что может быть записано аналогично (П.3.4)
г'=аг. (П.3.11)
Здесь г = (X1, х2, ..., х„} иг' = {xj, X2.....гя)- — радиусы-векторы в n-мерном пространстве, а а—матрица л-го ранга линейного преобразования (П.3.9), т. е.
'OC11 CC12 ... OCln
¦•• а2n L (П.3.12)
В общем случае, переменные xi, хк и элементы матрицы a,-?—комплексные числа.
Матрица п-го ранга (П.3.12)—квадратная таблица, состоящая из л строк, п столбцов и п2 элементов Oih- Про элементы оц говорят, что они расположены вдоль главной диагонали матрицы (т. е. диагонали, идущей от верхнего левого угла квадрата к его правому нижнему углу).ПРИЛОЖЕНИЯ
577.
ї=і
i=lA=I
A=I
где
(?a)ik= S !=1
(П.3.13)
Последовательное применение двух линейных преобразований вида (П.3.11) с матрицами a и ? дает
г' — ar, r* = ?r\ I откуда >
r" = ?r' = ?ar. J
В раскрытом виде
п п п п
Xi = 2 Pf*' =22 Р/№*** = 2 (Р«Ь**> (П.Э.14)
(П.3.15)
Последнее соотношение дает правило умножения матриц. Для того чтобы получить Ik-й элемент матрицы, равной произведению матриц ?a, надо перемножить элементы 1-й строки матрицы ? на элементы k-то столбца матрицы a и сложить их. Это правило может быть схематически изображено так:
XXXXXX
fх' /
X
X
X =
X
/ . X,
(П.3.16)
В ряде случаев целесообразно обобщить понятие матрицы (П.3.5) на прямоугольные таблицы, в которых число строк не равно числу столбцов. Правило умножения матриц (П.3.15) непосредственно обобщается иа случай, когда число п столбцов в матрице ? равно числу п строк в матрице a (в этом случае индекс і в (П.3.15) пробегает значения от 1 до п). Произведение ?a есть в этом случае прямоугольная матрица, число строк в которой равно числу строк в ?, а число столбцов—числу столбцов в а.
В важном случае умножения квадратной матрицы на матрицу из одного столбца мы получаем матрицу из одного столбца.
Очевидно, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно (см. П.3.16), т. е.
?a Ф a?, (П.3.17)
но в то же время удовлетворяет ассоциативному закону:
Y (P«) = (VP)«. (П.3.18)
как легко проверить, пользуясь правилом умножения матриц (П.3.15).