Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(ax?)//.« = art?y,. (П.3.49)
Здесь двойной индекс ij, в котором і пробегает значения от 1 до п, j пробегает значения от 1 до т, нумерует строки матрицы ax? в соответствии с некоторым, произвольно выбранным правилом. Например, 1-й, 2-й, 3-й, ..., (пт)-й строке могут соответствовать значения индекса ij: 11, 12, 13, ..., Im, 21, 22, 23, ..., 2т, ..., яі, я2, ..., пт. Нумерация столбцов kl производится обязательно по тому же правилу (Е. Вигнер говорит, что разметка строк и столбцов должна быть одинаковой). Всякое изменение разметки сводится к перестановке строк с одновременной перестановкой столбцов. Можно показать, что это является несущественным для доказываемых ниже свойств.
Теорема: Пусть имеются две матрицы а и а' я-го ранга и две матрицы ? и ?' от-го ранга, тогда
(ax?) (a'x?') = aa'x??'. (П.3.50)
Здесь в левой части равенства мы вначале вычисляем прямые произведения ax? и a'x?', а затем обычное произведение полученных таким образом матриц я-яг-го ранга; в правой части мы вначале вычисляем обычные произведения матриц aa' и ??', а затем их прямое произведение.
Доказательство. Элемент с индексом (ij, kl) левой части равен
{(ax?)(a'x?')},7, fci = 23 («ХР)'/- «(e'x?')«.w= ?./> (П.3.51)
r S Г S
где первое равенство выражает закон обычного матричного умножения (П.3.15) (т. е. суммирование по «внутреннему» индексу rs), а второе равенство основано на (П.3.49).
Тот же элемент с индексом (ij, kl) правой части (П.3.50) равен
(aa' х??'}ij, ы = (aa')/A (РР')л = 2 air<*'k?/Жь
Г S
что совпадает с (П.3.51). Таким образом, теорема (П.3.50) доказана.
Вычислим еще шпур матрицы, равной прямому произведению матриц
Sp(ахР) = 2>хР);/>а= 2au?yy= 2а»2Pyy = sPia-sPP- (п-3-52) ij ij і і
т. е. шпур прямого произведения двух матриц равен произведению шпуров самих матриц. ПРИЛОЖЕНИЯ
583.
Приложение 4
Рассмотрим свойства идеального ферми-газа при абсолютном нуле температуры (Я. И. Френкель). Пусть в объеме AV содержится AN электронов в наинизшем энергетическом состоянии. Принцип Паули требует, чтобы элементарная ячейка фазового пространства (Аде Ay А г) Apx Apy Apz = {2nk)3 содержала не больше двух электронов (с противоположно направленными спинами).
В наинизшем энергетическом состоянии AN электронов заполнят в пространстве импульсов шар радиуса р0, который определится из условия
откуда
j полный фазовый объем ' (2 як)3
Al/ 4Я 3
AV- ро
(2л Ь)3
= AiV,
(П.4.1) (П.4.2)
где n=AN/AV—концентрация электронов. Максимальная кинетическая энергия электронов в точке с концентрацией п равна
eO"
J_ 2 _ (2я?)2 { Зп \ а/з =2тРй~ 2т \8п J '
(П.4.3)
Число квантовых состояний (статистический вес) в 1 см3 в интервале импульса между р и р + dp или кинетической энергии между є и є+ de равно
dpn = 2
1 си3хобъем шаров слоя dp_8яр2 dp .
dEn =
8 уТяm3/2 лг-
(2я&)з
(П.4.4)
(2лй)3
V є de.
Здесь е = р2/2т. На рис. П.2 изображены плотности распределения электронов (квантовых состояний) на единичные интервалы импульса и энергии.
Рис. П. 2.
Вычислим плотность кинетической энергии электронов (т. е. кинетическую энергию в расчете на 1 см3):
а Г 1 Г , . 35/3я4/3?2 б/з
Sk = X-P dPn=--P dP =-«' • (П.4.5)
J 2т F 2т (2n%)s J IOm
о 584
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 5
Понятие о нормальных (главных) координатах механической системы.
Рассмотрим простую механическую систему с двумя степенями свободы, на которой может быть наглядно проиллюстрировано понятие о нормальных или главных координатах. Представим себе две частицы с одинаковыми (для простоты) массами т, которые могут двигаться вдоль оси х. На 1 -ю и 2-ю частицы действуют квазиупругне силы —Pu1 и —?u2, притягивающие их к положениям равновесия Oi и O2 (щ и U2—отклонение частиц от центров Oj и O2). Кроме того, частицы взаимодействуют друг с другом с квазиупругой силой, равной ±v("i—"2)- Уравнения движения имеют вид
ZnU1 = -PU1-V(U1-U2),
(П.5.1)
/TlU2 = — ?u2— V (U2-U1).
Ищем решение этой совместной системы дифференциальных уравнений в комплексной форме
U1 = A^t, U2= Aaeiat. (П. 5.2)
Подставляя (П.5.2) в (П.5.1) и сокращая обе части уравнений на множитель e'at, получим линейную однородную алгебраическую систему уравнений для амплитуд A1 и Ai
(co^-co2) Ai- a>lA2 = 0,
4 ' ~ (П.5.3)
-O2bA1 + К-ш2) A2 = О,
где ты\ = $ + у и ma>? = y.
Как мы видели в аналогичном случае § 3, п. 2, система (П.5.3) определяет только отношение A1IA2. Из (П.5.3)
A1 (0% со \ — ш2
—=-— =-——. (П.5.4)
Аг соД—to2 со|
Решая это квадратное характеристическое уравнение для со2, получим два корня
с,» = «,»+Ш«=&±Й, O22 = C^-COj=I-. (П.5.5)
Из (П.5.4) следует, что каждый из этих корней дает для отношения AjAi
Ш^Г-1'
Отсюда и из линейности уравнений (П.5.1) следует, что общее решение имеет вид
u1 = c1eu*<t+c2ei(0'i, и2 = — с1еш^ + с2еш''. (П.5.6)
Мы видим, что координаты «і н U2 состоят из сумм, каждое слагаемое которых меняется по времени по гармоническому закону со своей частотой. Возникает вопрос, нельзя ли выбрать в системе такие координаты (нормальные), чтобы каждая из них зависела от времени гармонически. В данном случае это сделать очень просто. Из (П.5.6) непосредственно видно, что
