Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(=1
Если а и b—трехмерные вещественные векторы, определение (П.3.35) переходит в обычное скалярное произведение (П.3.8). Покажем далее, что
(a, ab) = (a+a, Ь), (П.3.36)
где о—матрица линейного преобразования я-го ранга. В самом деле, левая часть (П.3.36) равна
2 а* (а&)г = 2 а*тФь
I ik
1J Смирнов В. И., т. 3, ч. I, § 1, п. 6.
2) См. там же. 580
приложения
а правая часть —
2 (а+а)>, = 2 Wtkibh і ik
что отличается от левой части только обозначением немых индексов суммирования.
Применим теперь к векторам а и Ь в (П.3.35) унитарное преобразование U, тогда
(Ua, Ub) = (U+Ua, Ь) = (Еа, Ь) = (а, Ь), (П.3.37)
где мы использовали (П.3.36) и (П.3.34).
Выражение (П.3.37) является естественным обобщением соотношения (П.3.8), инвариантного относительно ортогонального преобразования а.
В заключение этого пункта введем важное понятие о преобразовании подобия матрицы а:
a '=S-1CW, (П.3.38)
где S—произвольная не сингулярная матрица (т. е. матрица, имеющая обратную).
Умножая (П.3.38) слева на s и справа на S-1 и учитывая, что S-1S=E, получим
O = SarS'1. (П.3.38а)
Можно показать, что любое матричное уравнение не меняется (инвариантно) при преобразовании подобия. Например, матричное уравнение
?cc + Y = e (П.3.39)
при преобразовании подобия (П.3.38а) приобретает вид
s?'s - 1SatS -1 + sy's -1 = se's -
Умножая это выражение слева на S-1 и справа на S, получим
?'a' + v' = e', (П.3.39а)
т. е. уравнение (П.3.39) инвариантно относительно преобразования подобия. Покажем еще, что шпур матрицы не меняется при преобразовании подобия
Sp a = Sp (set's- 1J = Sp (S-W) = Sp(Ear) = Spa', (П.3.40)
где мы воспользовались (П.3.24).
5. Вектор г' в (П.3.11), вообще говоря, не пропорционален вектору г. Если же для некоторого значения г = х (хъ X2.....хп)
ах^Хх, (П.3.41)
где X—скаляр, то х называется собственным вектором, а Я—собственным значением матрицы а.
В проекциях на оси уравнение (П.3.41) имеет вид
2 а<А*А = ^;,
A=I
или
п
2 (aIk-^ik)Xk = O. A=I
(П.3.42)
Мы видим, что составляющие собственного вектора Xk определяются из системы линейных однородных уравнений (П.3.42), которая имеет решения, отличные ПРИЛОЖЕНИЯ 581.
от нулевых, только тогда, когда определитель системы равен нулю, т. е.
«и — Я, «12, •> «In
«21, Ct22 — А, • > «гп = 0, (П.3.43)
otJll • «па. • > «/in — Я
или
Kfc-^iftI = O. (П.3.43а)
Уравнение (П.3.43) я-й степени относительно А называется характеристическим или секулярным\ п корней этого уравнения A1, A2, ..., Art (из которых некоторые могут совпадать) определяют я собственных значений матрицы а. Каждому собственному значению A1- соответствует собственный вектор х<'> (или несколько собственных векторов; в последнем случае собственное значение называется вырожденным). Докажем важную теорему о собственных значениях и собственных векторах эрмитовой матрицы Н. Пусть
HxlV = X1 *<»>, (П.3.44)
Hx^ = X2X^, (П.3.44а)
где JC'D, Xm и A1, X2—два собственных вектора и два собственных значения матрицы Н.
В проекциях на координатные оси имеем
J^«1'=^11, (П.3.45) ft
JHik xf =X2xf. (П.3.45а) ft
Умножим обе части (П.3.45) на хи просуммируем по І, тогда
J Hikx^xf * =X1Jx^х^*. ft, ? і
Возьмем уравнение комплексно-сопряженное с (П.3.45а), умножим его на Jtj1^ и просуммируем по і
JlHtlk 42,**<-1,=^5W2)41)-ft і і
Так как H—эрмитова матрица, то H*k=Hki, но тогда левые части двух последних уравнений равны (во втором можно поменять немые индексы і и k) и, следовательно,
(A1-A2) 2^^ = 0. (П.3.46)
і
Предположим сначала, что A1 = A2, a X^ = х(2) Ф 0; тогда из (П.3.46) следует
A1 = A2 = Ai (П.3.47)
(последнее равенство следует из того, что A1 = A2), т.е. собственные значения эрмитовых матриц сещественны. Предположим, напротив, что A1^A2 = A2 ; тогда из (П.3.46) следует
2= (*<2>, ^)) = 0, (П 3 48)
і
т. е. собственные векторы эрмитовых матриц (относящиеся к разным собственным значениям) взаимно ортогональны. Если собственное значение А вырож- 582
ПРИЛОЖЕНИЯ
дено и ему принадлежат, например, три собственных вектора х(1>, Х(2> и х<3>, то собственные векторы, соответствующие Я, тоже могут быть сделаны взаимно ортогональными посредством процедуры ортогоналиэации Грама—Шмидта.
Ясно, что любая линейная комбинация векторов дс(1>, jc<2> и jc(3>—тоже собственный вектор, принадлежащий Я. Положим J/'1* = *'1', = P1^1K Выберем Pi так, чтобы j>(1> было ортогонально j><2>, т. е.
О*1», j/(2)) = 0 = (j/W, х<»)) +рій««, j,,i,)f
откуда
(j>u>, JC<g>)
Теперь положим J*(3) = jc(3)-|-p2J'(1) + P3J'(2) и выберем р2 и P3 так, чтобы j><3> было ортогонально и j><2>. В результате мы сконструируем три взаимно ортогональных собственных вектора jrf'i (і = 1, 2, 3), относящихся к Я. Конечно, эту процедуру можно распространить на произвольную кратность вырождения собственного значения Я.
6. Введем важное обобщение о произведении матриц разного ранга. Пусть квадратная матрица а п-то ранга, а квадратная матрица ? m-то ранга (я Ф т). Прямым произведением матриц аир, обозначаемым через ax?, называется матрица с элементами
