Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
323
Re Ь > Re а > О
13.2.1. „,
Г<»)
,3.2.2. IS^IWm
Г(6)
13.2. ИНТЕГРАЛЫ 1ЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
13.2.7. Г(а) Ща, Ь, z) =
= 2>-»е'" J г-'*3 sh»-' Cfts '"^j <Я. о
13.2.8. Г(я) Ща, Ь, z) -- е-" J *-"(< - АГ~' (I + J)'"'-1 ft
¦ Je'V-'Q - l)"-'-1 dl.
¦ 2>-V" J с-""(1 + Os-"-1 (1 - 1)°'
,3.2.3. M(a,b,z)~
Г(Ь)
_ 21-V* ^ ?(-"4 Я sin" Є Ctg8-8» l^-j
,3.2.4. І, „.
m
= е-4' \ e"(t - л)'-1 (в' - О'"""1 it. і
Re а > 0, Re г > О, А-В—1
13.25. Г(а) U(a, Ь, z) . J е~"1'~' (1 + O6-mA. о
13.2.6. Г(а) Ща, Ь, z) - е' J e-"(t - I)«"1 Ib-'-1 Л.
СЛ - 1 -J).
Аналогичные интегралы для М}:11(г) и Wtrll(Z) мокло получить при помощи 13.1.32 и ІЗ.Ї.ЗЗ,
Контурные интегралы шия Барцса
ГМ; Г(4) "
13.2.9. ISSL М(а, b, z)
± С Г(-3)Г(д+,)( у ^
с+»оо 1 і
2ти" J Г(і + s)
с— ко
где I >rg (-z)l •« Д , а, і * 0, —1, —2,... Контур дед-
2
жен отделять полюсы функіщи Г(—s) от полюсов функций Г(а -S)', с принимает конечные значения.
13.2.10. Г(а)Г(1 + a- t)z" U(a, Ь, z) -
e+taз
= — С Г(-ї) Г (a + s) Г(1 + а - 4 + s)i-" it, 2т J
где largzl < ?2 , а 0, -1, -2..... Ъ - а Ф 1, 2, 3, ...
2
Контур должен отделять полюсы функцииГ(—s) от пв-люсов функции Г(д Л- s) и Г(1 + а — b + j).
13.3. СВЯЗЬ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ (СМ. ГЛ. 9 И 10)
Функции Бесселя как предельные случая Oj и z фиксированы)
13.3.1. Iim {М(а, Ь, z/a)/T(6)} = zW'I^lJz).
13.3.2. lim {М(а, b, -г/а)/Г((,)} = zC'-VVmPVJ).
е-.®
,3.3.3. Iim {Г(1 + a -Ъ) U(a, b, z/a)}
13.3.4. Iim {Г( 1 + a - Ь) Ща, Ь, -ф)} -
--Vo (Im z > 0).
13.3.5. lim {Г(1 + а — b) U(a, Ъ, -z/a)} -
e-nu
- Jtfc-',l>i<l-i>'»/(j»l(21/z) (Im Z < 0).
Рашжсшн по функциям Бесселя
13.3.6. if(a, Ь, z) - е="Г j» _ а - -і J :
^ (2b- 2а- 1),(Ь - 2а), (Ь - а - 1/2 + п) „
: E-
X (-1)»/»—W»|-|J (S#0, -1, -J,...). Ma, i.z) .,,M . _ V"-6''
Г(»
(1 )г/ — bz — az
2 I
1-1 ЛП/8 _
: 2 -J № - 2o)-»'» JS-H„(j2zb - 4za),325 13. вырожденные гипергеометрические функции
At = 1, A1 = 0, At = -Ь, 2
(п + 1) А»+1 - (и + і - 1) An-i + (2а - Ь) Л„-а, — действительное
13.3.8. ¦ Ь' г) _
т
'-е"> S CnZ^-az)^"-»" у. Л-1+и(2л/~oz)>
м—0
13.4. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
13.4.1. (Ь - а) Mia - 1, 4, z) + (20 - 4+z) Mia, 4, z) -
- аМ(а + 1. 4, z) - 0.
13.4.2. 4(4 - I) M(а, 4 -1, z) + 4(1 _ 4 -
- z) М(а, 4, z) + z(4 - a) Mia, 4 + 1, z) = 0.
13.4.3. (1 + a - b) M(a, 4, z) - aMia + 1, b, z) I
+ (b - 1) Mia, b- 1, z) = 0.
13.4.4. bM(a, b, z) - ЬМ{а - 1, b, z) -
- zM(a, b +1, z) = 0.
13.4.5. 4(o + z) M(a, b, z) + z(o - 4) Л/(о, b + 1, z) -
- ab Miq + 1, 4, z) — 0.
13.4.6. (a - 1 + z) M(o, і, z) + (і - a) Mia-1, 4, z) +
+ (1-6) Mta 4-1, z) = 0.
13.4.7. 4(1 - 4 + z) M(o, 4, z) +' 4(4 - 1) M(o - 1, 4-
- 1, z) - azM(a + 1, 4+1. z) = 0
13.4.8. M'(a, b, z) = - Mia + 1, 4 + I. z).
4
13.4.9. — {Л/(о, 4, z)} - ^ Af(o + n, Ь |- n, z). dz« (4)„
13.4.10. »lf(« + 1, 4, z) = oM(o, 4, z) + zAf'(o, 4, z).
13.4.11. (4 - a) Mia - 1, 4, z) = '
= (4 - » - z) M(o, 4, z) + zK'(«, 4, z).
13.4.12. (4 - a) M(a, 4+1, zj = 4M(o, 4, г)-
- 4M'(o, 4, z).
?3.4.13, (b - 1) M(a, b — 1, z) =
- (4 - 1) M(o, 4, z) + гЩі, 4, z). 13.4.14. (4-1) M(o - 1, 4-1, z) =
"= (4 _ 1 - z) Af(o, 6, z) + zM'(a, 4, z).
13.4.13. t/(o - 1, 6, z) + (4 - - z) Viar b, z) +
+ и(1+в- 4)-1/(0 + 1, 4, z) = 0.
где
Ct, C1--44, Сг - -і(2Л-1)о+-ЦЬ+ 1)Л!, 2 2
(и + 1) С»+1 = [(1 - 24) п - 44] С„ + [(1 - 24) а -
- 4(4 - 1) (4 + п - 1)] С,-, - 4(4 - 1) йСв-а, А — действительное.*
13.3.9. Л/(о, 4, z) = І С„(о, 4) /„(z),
»=о
где
С. - 1, CJa, 4) = 2ajb, Сд+і(о, 4) = 2uC»(a + 1, 4 + 1)/4 - С„-,(о, 4).
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
13.4.16. (4 - а - 1) U(a, 4-1, z) +
+ (1 - 4 - z) Ща, b, z) + zV(a, b + 1, z) = 0.
13.4.17. Via, 4, z) - aU(a I- 1,4, z) — Via, 4 — 1, z) ^ 0
13.4.18. (4 - o) U(a, b, z) + tl(o - 1, 4, z) -
- zU(a, b + 1, z) - 0.
13.4.19. (o + z) U(o, 4, z) - z!/(o, 4 + 1, z) +
+ 0(41- a - 1) U(a + 1, b, z) = 0.
13.4.20. (o + z - 1) Via, b, z) - Via - 1, 4, z) +
+ (1 + 0-4) U(a, 4-І, z) = 0.
13.4.21. U'(a, b, z) - -aV(a +1,4+1, z). dn
13.4.22. — {Via, 4, z)} - (-1)» (o)» V(a + n, 4 + n, z). dzn
13.4.23. o(l + a - 4) U(a + 1, 4, z) =
= aU(a, b, z) + zl/'(a, 4, z).
13.4.24. (1 + о - 4) ?/(o, 4 — 1, z) —
= (1 - i) U(a, b, z) - zU'(a, b, z).
13.4.25. V(a, 4 + 1, z) = [f(o, 4, z) - U'(a, 4, z).
13.4.26. t/(o - 1, 4, z) - (o - 4 + z) t/(o, 4, z) -
- zV'ia, t, z).
13.4.27. V(a - 1, 4 - 1, z) = (1 - 4 + z) Що, 4, z) -
- zV'(a, b, z).
13.4.28. 2[Ш„-1/г, „-,,,(z) - z«sM, „(z) -=
= 2*MlM (i-iysCz).
13.4.29. (1 + 2ц + 2/:) Mi4.!. „(z) -
- (1 + 2[i - 2k) Aft-i. [.(z) = 2(24 - z) Mt.„(z)13.5. асимптотические разложения и предельные формы
325
13.4.30. WkwJlll(Z) - z1" Wt. ^iiJz) +
H- № + IOir,-ІД И« = 0.
13.4.31. (2к - z) Wi.Jz) + IVw.Jz) -
= ||Х - к + Ij ^ + к - |j W^1. Jz).
13.4.32. ZMl Jz) - (f - ^j jtfM*) +