Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
12.1.28. Еслв/,(г) - j Hv(I) I4A1 то
о
,ц = (2v + \)Uz) - z*«Hv(z) + ,!на
(v + 1)2»+Т(1/2)Г(ї + 3/2)
(Re v> ,-1/2).
Асимптотические разложения для больших I Z | 12.1.29. IIv(Z) - Fv(Z) =
Г№ + 1/2)
- + я»
* fco ^+1/2-4(2/2)^-41
( I arg z 1 < я), R„ =- 0( 1 Z І»-™-1).
Если V — действительное, г — положительное и т + + 1/2 — v^O, то остаток Rtn по абсолютной величине меньше, чем первый отброшенный член, и имеет тот же знак.
1Ё. Z1
12.1.30. H„(z)- - P- - і + ™
7: Lz Z3 Z5
1а-3'-5а
12.1.31. H1(Z) - ВД -
+ ...j (I arg z I < тг). 1 1»-3
^, + I-JLIh
It L Za Z4
I2JM _ 1
'"J
(I arg z [ <: те).
. 12.1.32. уН0(0 -Y0(t)} dt-о
- I Dn (2z) + Ц ~ і ? _(-'>'"<ЗД» Р*-'>!
(W)Wt
(I arg z|< л), где Y — 0.57721 56649... — постоянная Эйлера.
12.1.33. j I1I
[H0(I) - У0(1)] А -
~ nz O (t!)s(2t + l)(2z)a« (I argz|< я).
Асимптотические разложения для больших порядков
12.1.34. H4(Z) _ Kv(Z) ~ адЭ'-р.*.!*!
V^r(v+ 1/2) ^^
(! arg zI < я/2, I v| < |r|),
•(тГ-'Ш-
id = 1, І! ™ ¦
12.1.35. Hv(Z) + iVv(z) -
V*T(v + l/2)?:J
(i v|> |z|).
12.2. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ СТРУВЕ Lv(I)
Разложение в ряд 12.2.1. Lv(Z) = - /e-<vn/2Hv(iz) =
¦(Гё
(z/2)2'
І'(к + 3/2)Г(? + V + 3/2)
Интегральные представления
я/2
12.2.2. Lv(z) - 2WV— С sh (z cos 0) Sinav 0 iiO
(Re v> -1/2). 316
12. функции струве
12.2.3. I-Jx) - LvW .
гыгу — ^ sin (1 + al
(Re V < 1/2, x > 0)
_-----V sin
V*r(v + 1/2) 3
Рекуррентные соотношения
12.2.4. Lm-LwLv+ — Ш
12.2.5. Lv-, + LvtI = 2LV
tu Ol
г * V»r(v + 3/2) (г/2)"
V»T(v+ 3/2)
L-2 1-5
Рис. 12.4. Модифицированные функции Струве L„W; ±н = 0(1)5.
Асимптотическое разложение для больших |z|
12.2.6. Lv(z) - /-v(z) ~
_ I у, (-DwT(к + 1/2)_
~ " м ГС" + 1/2 - к) (г/2)«-«1
(Iargzl <тг/2).
Интегралы
12.2.7. ( U(I) dl -Г- + —— +---+ .
J п|.2 Iа- 3= - 4 Iа¦ 33.52.6 J
12.2.8. J
[«() - L0(O) dt--Dtt (2z) + Yl -
2 (2Л)! (2к — 1)! ,. , ...
---УУ-^-Л-- (1 arg z| < tt 2).
*ftrf (*№)"
12.2.9. I LiM dt = L„(z)--z.
Связь с модифицированными сферическими функциями Бесселя
12.2.10. L_(K.|.i/a)(z) = 7itii/j(~) (л ~ положительное или нуль).
12.3. ФУНКЦИИ AHTEPA И ВЕБЕРА
Функция Ангера
12J.1. JM = — ^ cos (v0 - z sin 0) du. о
12.3.2. J„(z) = Mz) (n ~ целое).
функция Вебера
Ш.З. Ev(Z) - і ^ sin (v8 - г sin 0)(iO. о
Соотношения между функциями Ангера н Вебера
12.3.4. sin (vrc) JM = cos (мтг) Ev(Z) - E-M-
12.3.5. sin (чи) EM - cos (vt;) Jv(z).
Соотношения между функциями Вебера н Струве (я — целое положительное или нуль)
12.3.6. E„(z) .Ijp^m^^ - H.»(z).
* fco Г(» + 1/2 - к)
12.3.7. E_,(z) .
(-1)'+1 - к - 1/2) (z/2)-«**"-' _ J1^
^0 Г(* + 3/2)
12.3.8. Eo(Z) - -H0(Z).
12.3.9. E1(z) = - - H,(z).
12.3.10. E,(z)---Щг),
Зге примеры
317
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Вычислить L0(2) с 6D. Из табл. 12.1 имеем /»(2) — L0(2) = 0.342152, из табл. 9.11 имеем /0(2) — " 2.279585, так что L0(2) - 1.937433.
Пример 2. Вычислить H0(IO) с 6D. В табл. 12.2 находим для лг1 « 0.1 H0(IO) - У„(10) = 0.063072. Из табл. 9.1 имеем Г„(10) — 0.055671. Следовательно, H0(IO) = - 0.118743.
Пример 3. Вычислить ^ Н„(П dt
для .v ¦ 6 с 5D.
Используя табл. 12.2, 11.1 и 4.2, оолучаем 6 б
,(I) dt - [ П(0 dt + - In 6 +Л(б) =
= -0.125951 + (0.636620) (1.791759) +
+ 0.816764 = 1.83148.
Пример 4. Вычислить Н»(т) для л ¦ 4, -и - 0(1)8, с 6S. Из табл. 12.1 имеем Н0(4) = 0.1350146, Щ4) = = 1.0697267. Используя 12.1.9, находим
H-i(4) = -0.433107, Н-5(4) — 0.689652,
Н-,(4) = 0.240694, Н-,(4) = -1.21906,
Н_3(4) = 0.152624, Н_,(4) - 2.82066,
H-,(4) - -0.439789, H-,(4) = -8.24933.
Пример 5. Вычислить Н,.'х) для п — 0(1)10 с 7S. Начиная со значений Н„(4) и Ні(4) и используя рекуррентную формулу 12.1.9 для возрастающих значений я, получим
Н0(4) = 0.13501 46, Н, (4) = 0.05433 54, Н,(4) = 1.06972 67, H1 (4) = 0.01510 37, Н„(4) = 1.24867 51, H1 (4) 0.00367 33, Hs(4) = 0.85800 95, Н, (4) = 0.00080 02, Н,(4) - 0.42637 41, Hiu(4) = 0.00018 25. Н0(4) - 0.16719 87,
Заметим, что при и > 6 происходит быстрая потеря верных значащих цифр. Поэтому, используя 12 1.3 для -1C ¦ ¦ 4, находиш
Н,(4) = 0.00079 35729, Нц(4) = 0.00015 447630
и применяем рекуррентную формулу 12.1,9 для убывающих значений ft. Получаем
Н,(4) = 0.00367 1495, Н,(4) = 0.01510 315, Н,(4) -. 0.05433 519, Нв(4) ¦= 0.16719 87, НД4) = 0.42637 43,
Н,(4) = 0.85800 94, На(4) = 1.24867 6, Н,(4) ~ 1.06972 7, Но(4) = 0.13501 4.
Пример 6. Вычислить W0.5) для п = 0(1)5 с 8S. Из формулы 12.2.1 находим L5(0.5) — 9.6307462 ' 10~т, L4(0.5) — 2.1212342 • Hj Затем с помощью рекуррентной формулы 12.2.4 получаем
L3(0.5) = 3.82465 03 ¦ 10J, 1.2(0.5) = 5.36867 34- IO-3, L;(0.5) -= 0.05394 2181, L0(O-S) = 0.32724 068.
Пример 7. Вычислить Lrc(0.5) для п ~ 0(1)5 с 6S. Из табл. 12.1 и 9.8 находим Lo(0.5) -- 0.327240 и 1,(0.5) = = 0.053942. Используя рекуррентную формулу 12.2.4 для убывающих значений индекса, получим
