Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
+ (I + И + *) Мы. Jz).
13.4.33. zWl.Jz) = (f WbllW - WmJz).
13.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Разложения при больших I z \
(а, Ь фиксированы)
,, _ ^ct г-' v
ОД Г(6 - а) *
: rg(.),0 + Л-Ц.(_г)-, + 0(urt). 1.? "і і
+ - і у. (»-")-О-«). г-„ + OturtI , ГС«> 1,-0 я! J
где верхний знак берется при — тт/2 < arg z < Зїс/2, а нижний знак — при — Зтг/2 < arg ~ " - тс/2.
13.5.2. 1/(я, A, Z) = Z-'
; (q),(l + а-Ь),
(-Z)-" +
Is'
Множители сходимости для остаточных членов
. (а)к(1 + а - Ь)в, .,.а.
13.5.3. 0(1 z|-B) -
5(-z)-ax
1 8 4 2 4 4
+ 0(1 z\-')
13.5.4. 0(|z[-s)
№—оЫ1 - ah
-6 + 2a + z-S + 0( I Z |-1)j .
члены являются наименьшими в разложениях 13.5.1 и 13.5.2.
Представления при малых z
(я, b фиксированы)
13.5.5. При I z I -+ О имеем М(а, b, z) -> 1 (Ь ф и).
13.5.6. (/(«, Ь, г) - T{b ~ z*-b + CKI г|'>")
Г(о)
(Rei&2, ЪФ2).
13.5.7. U(a, 4, z) - Af^ z'-» + 0( I In zl) (b = 2).
Г (о)
13.5.8. b, z) - (Ь " + 0(1)
До)
(1 < Re 6 < 2).
13.5.9. U(a, b, z) ---L [іц z + ф(„)] + 0(| zln z|)
Г(а)
(b - 1).
13.5.10. Via, Ь, zi = „.Г(і ~ Ь\ + 0(1 z I1-?")
Г(1 + a - b)
(0 < Re b < 1).
13.5.11. U(a, b, z) = -
1
Г(1 + a)
+ Odzlnz]) (6 = 0).
13.5.12. t/(a. b, z) = ----+ 0(1 zj)
Г(1 + a - 6)
(Re b « 0, 6 / 0).
Представлении при больших a
(a, z фиксированы)
(1,2 -.І/я-Ь/а
13.5.13. M(a, b, z) = Г(6) 1 ~ - х
X (V 2bz — 4az) [l + 0(||— j ° j] '
,Iі Ip І, 1 Зр)
где Z =--a Ka = mm Il — р,--— I
I 2 I V 2 2 J
(0 S p < 1/3).
~ — ax\
X II-1'2 cos фЬх - 4аї - Y + j x
(?1 > — ос, 6— ограниченное, л — действительное). 13.5.15. Ща, b, z) =
" Г [~2 ~~ " + 2 ) е"'г"1'Ьп [cos <aIt> Jt-iU2bz-4az)~
-Sin(UIt) Yb-iUibz'-iax)] -I O jj | - a |~°jj.
где 0 определено в 13.5.13. 326
13. вырожденные гипергеометрические функции
13.5.16. U(a, b, х) ~
_ г I- - а + -1 7=-IlW-"" X
U *)
X cos ( J2bx — 4ax — — + an + — | X
I 2 *)
в -+ — оо, Ь — ограниченное, х ~ действительное).
Представления при больших действительных a, b, х
?елн ch8 6 е= xl(2b ~ Aa), так что х > 2Ь — а > 1, то
13.5.17. М(а, Ь, х) = Т(Ь) sin (an) х X ехр |<6 - 2а) ^
X [(4 - 2а) ch 6]iJ Jn JA _ 0J sh 26j 1/3 х
2х[.+0(|1-.П],
13.5.18. Via, Ь, х) -- ехр ?(6 - 2а) Ji sh 26 - в Ь ch' 6 jjx
X Ki - 2л) ch б]1-' JJA - oj sh 29 j"*" х
2 *[' °(11-Г)]-
Если je—(26 - 4д)[1 + !/(4 - 2o)!"J, так что х ~ 24 - 4а, то
13. 6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
13.5.19. М(а, Ь, х) - е"\Ь - 2а)г"-°Г(Ь) X X [Ai (t) cos (an) + Bi (1) sin (an) +
Ь
+ в(|і_.П]. ЇЗ.5.20. U(a, b, х) = JIj я-"" х
X Хб-Ч> |і - (Г JA](4x - 2ах)-Ч'31"п-Ч3 +
-(!!-ні-
Если cos®G = xj(2b — 4а), так что 2b — 4а> х> 0, то
13.5.21. М(а, Ь, х) =
- Г(6) eltp {(4 - 2а) cos' 9} X
X [(6 - 2а) cos Є]« [ " ["J - а] sin 2в]"' х X Jsin (an) + sin j J! - <i j (26 - sin 29) + -Ї J. +
-(II-HI]-
13.5.22. U(a, b, x) = exp [(4 - 2a) cos® OJ x
X [(4 - la) cos 6]1-6 JJA __ „J wl, 20j X
X {sin JJA -„j (29 - sin 29) + j] +
-(Vht
A/(o, 6, «) ¦
« Ь ¦ Состаошевва Функция
13.6.1. v + i 2 2v + 1 2 Iz Г(1 + V)e" Jij^ZvW Бесселя
13.6.2. -v + i 2 —2v + 1 2 iz Г(1 - v) е" Jyj^cos (m) А M - - sin (Vit) ОД] «
13.6.3. v + 1 2 2» + 1 2z Г(1 + v) с» Jyj \(*) Модифицированная Бесселя
13.6.4. n + 1 In + 2 2iz rJf + »j ^JfJ""'"1 W^) Сферическая Бесселя
13.6.5. — n -2 n 2 iz «
13.6.6. It+ 1 In+ 2 2z rJf + »)«*Jf)"M"w*) « із.б. частные случаи
327
Продолжение таблицы
Л."D1 f., !) Функции
Соотношения
13.6.7. 1 и + -2 2л + 1 -2 лі їх Г(1 + n) I ' (bei и І і bei» Л-) Кельвина
13.6.8. L + 1 -ft] 2L + 2 2 ix x) Jri-V ед»і) Волновые Кулона
13.6.9. - п « Ь 1 X —-—ц*>м (« + 1). JIareppa
13.6.10. а и I —X их "yla. x) Неполная гамма-функция
13.6.11. —п 1 + V _п X („l)i/?." ---pu(v, X (1 + V - „)„ Пуассова — Шарлье
13.6.12. а а Z ez Экспоненциальная
13.6.13. 1 2 -Hz -sm г Z Тригонометрическая
13.6.14. 1 2 2z e• . — sh z Гиперболическая
13.6.15. 1 Za 2-1'» exp j ?»>(?)
exp І — Вебера или параболического цилиндра
13.6.16. 1 V 2 ~ 2 3 2 Za 2 1 4 ' 2z
13.6.17. —и 1 2 її 2 Эрмита
13.6.18. — П 3 2 Xі Y г. 'r1 (2h 4-і)! I 2 J * He2a+1(x) «
13.6.19. 1 2 3 2 —у? -erfx 2x Интеграл вероятностей
13.6.20. 2 + 1 2 2 1 + л г' ¦--er T(m, и Торонто
U(a. b. j) Функции
« » ¦
13.6.21. V+ і 2 2-і f 1 2z 7tJ'%*(2z)-viCv(z) M одифицированная Бесселя
13.6.22. v + i 2 2v + 1 -Hz 1 + (2 , v ЯШ(2) 2 Ханкеля
13.6.23. v + l 2 2v4- 1 2 iz 1 ,,1,?-.Mv+ 1/2)-»] М.,Ш||([) 2 «
13.6.24. я + 1 2« 4- 2 2z KttllAz) Сферическая Бесселя
13.6.25. 5 6 5 3 IzJrt 3 IZ1ItZ-1 exp 2"S'J35'» Ai(z) Эйр и 328
13. вырожденные гипергеометрические функции
Продолжение таблицы
[/(а, Ь, г) Соотношения Функция
А I & j Г
13.6.26. и+1 2 2н I- I Vix («я-Ille-J" (2Jt X)-« [кег»х + І kein х\ Кельвина
13.6.27. -и « + 1 X (-1)-..1 lg*>(x) JIareppa
13.6.28. 1 -о 1 - о X еЧ\а, х) Неполная і амма-функция
