Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
13.7. Нули и точки поворота .....................................................328
Примеры ............................................................................................................................................329
13.8. Использование и расширение таблиц ................................................................329
13.У. Вычисление нулей и точек поворота .........................................................330
13.10. Графическое изображение функции М(а, Ь, х) ............................................................331
Таблица 13.1. Вырожденная гипергеометрическая функция М(а, Ь, х) ..і..........333."
X — 0.1(0.1)1(1)10, a =-1(0.1)1, 0 = 0.1(0.1)1, 8S,
Таблица 13.2. Нули функции М(а, 6, х) ........................................................................352
0 = -1(0.1)-0.1, 6 = 0.1(0.1)1, 7D.
Литература ........................................................................................................................................353
13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ КУММЕРА И ФУНКЦИЙ УИТТЕКЕРА Уравнение К'уммера
,.,, , daw , ,, ч dw п
13.1.1. г--b (Ь — г)--aw = 0.
dz2 dz
Это уравнение имеет регулярную особенность при Z- О и иррегулярную особенность в точке оо. Первым линейно независимым решением является
Функция Ky мм ера
13.1.2. М(а, b, z) =
= і + ?? + <а>*г8
Ъ (6)j21
где (G)n = а(а + 1) (а + 2)... (а + л - 1), (а)» - 1 Второе решение имеет вид 13.t.3. Via, fr, г) -
М(а, Ъ, z)
(а)п^
т J М(а, Ь, г
Ttfr |r(l + o-fr)
М(1+а-Ь, 2-й, г)) Г(а)Г(2-*) J
Параметры (т, л— положительные целые) М(а, Ь, z)
Ь ф —и, а Ф —т сходящийся ряд для всех значений a, b, z
b Ф —и, а = —т многочлен степени т относительно Z
b = — п, аф —m b = —л, а — — т т > п простой полюс при b = = — п
b = — п, а = —т т < п не определена
Функция U(a, b, z) определена также и при Ь ±п. При I z j оо
13.1.4. Ai(a, b, z) = ЖЛ»-»[і + 0(| 21-1)!
Г(а)
(Re z > 0),
21 — под ред. В. А. Днткина, Л. Н. Кармазиной 322
13. вырожденные гипергеометрические функции
13.1.5. Mlfl, Ь, z) •
'Г (Ь)__ пь - а)
(-z)"°[l +Odzl"1)]
(Re г < 0).
Функция Ь'(й, r< z) являємся многозначной. Ее главная ветвь определяется условием — я < arg z < тс.
Логарифмическое решение 13.1.6. U (а, п + 1, г) -(-1)"
п!Г(д — и)
М(а, п + 1, z) In z +
(?)r Zr
- {«о + г) - Ф(1 + г) - ф(1 + " + ')} + І(и+1)гП J
(" - »L г-»м(а - в, 1 - п, z)„ (п = 0, 1, 2, ...). I»
Последняя функция представляет собой сумму п слагаемых. Полагают, что она равна нулю при п 0, кроме того, «а) = Г'(«)/Г(а).
13.1.7. 17(0, 1 - п, z) = z"U(a + и, 1 + п, z). При Re Z -. оо
13.1.& t/(o, Ъ, z) - і-«П + Oil *l~*)l
Аналитическое продолжение
,±"4 - " „-г f - а, z)
13.1.9. U(a, Ь, ze±m) =
, 1 АГ(і - і I Г{1 + а -
Ь)Г(Ь)
_ е±"'С-Цг1-»л(1 _ g. 2 _ j,, z)| Г(„)Г(2-4) /'
Нужно взять либо верхний, либо нижний знак в обеих частях равенства.
13.1.10. U(a, Ь, ze1"'") =
_ [1 _ —ТО ~ М(а, Ъ, z) +
Г(1 + в _ 4)
+ е-**№"Ща, Ь, z).
Другие обозначения Вместо обозначения Mia, Ъ, z) иногда употребляются обозначения JFiu; b; z) или Ф(о; b; z), а вместо U(a, Ъ, z)
•гFo Ja, 1 + а - Ь; - — j или Ч>; Ь; г).
— ооозначения Z s/'
Общее решение
13.1.11. у - AMia, Ъ, г) + BU(a, Ь, г),
где А и В — произвольные постоянные, Ь —л. Частные решения
13.1.12. j, = Mia, Ь, z).
13.1.13. у, = Z1-0M (1 + а - Ь, 2 - Ь, z).
13.1.14. Ji - IfM (Ь - а, Ь, -Z).
13.1.15. J4 - Z1-VAf (1 - а, 2-Ь, -z).
13.1.16. J5 - Е/(я, Ъ, z).
13.117. у, - Z1 »17 (1 + а - Ъ, 2-6, г). 13.1.18. у, = еги (Ь - а, Ь, -Z). IM1W-Ja = Z1-VCZd-O, 2-і, -г).
Вронскианы ЕСЛИ Л> УтУп - JnJm Ж
е = sgn (Ira z)
-{
1 при Im z > О, — 1 при Im z < О,
то имеют место формулы
13.1.20. 1F{1, 2} = W{3, 4} = W{I, 4} = -W{2, 3} =
-(1-6) z-V.
13.1.21. JV{1, 3} = W{2, 4} = W{S, 6} = W{7, 8} - 0.
13.1.22. W{ 1, 5} = -Г(6) z-V/r(o).
13.1.23. W{ 1, 7} = Гib) e'™bz-be*IT(b - a).
13.1.24. W{2, 5} - — Г(2 - b) z-V/r(l + a - t).
13.1.25. W{2, 7} = -Г(2 - 4) z-V/r(l - a).
13.1.26. W{S, 7} -
Преобразования Куммера
13.1.27. M(a, b, z) = e'M(b-a, Ь, -z).
13.1.28. zv"bM(l + я - і, 2-і, z) =
= - z'^e'MO - a, 2-і,
13.1.29. Щи, h, z) - Z1-0CZO + о— i, 2 —J, z).
13.1.30. ег(/(4 - о, і, -z) -
^«,J-S^jl-epd _ 2 _ І,, -z).
Уравнение Уиттекера
J2W
13.1.31. — +
rfz"
Г - - + -
L 4 2
Его решениями являются
фуакта Уиттекера
13.1.32. M1. Jz) - e-vV'+'M J-j + ц-к, 1 + 2(1, rj .
13.1.33. WM(Z) = е-"V*4-CyJi + ц -к, 1 + 2? zj
(-71 < arg z « 7С, і: = J/2 - о, [І = S/2 — 1/2).
13.1.34. lfM(z) =
Г(-2|х)
Г(2ц)
- M,.-„(z).
~г(т-Н'"""" 'It + "-*)
Общее вьірождеішое уравнение
13.1.35. vv" + f — + 2/' + — K — —1 w'
L Z h YJ
+[if-'-m+')+
+ /*+/" - № = 0. Его решениями являются функции
13.1.36. Z-*e-'iz>M(a, b, h(7.)),
13.1.37. Z *e-''z'U(a, b, A(Z)).
AjA - 1) 2Af г= Z 13.3 связь с функциями бесселя
