Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
13.6.29. 1 1 — X —е~х Ei X Интегральная показательная
13.6.30. 1 1 X е* E1(X) «
13.6.31. 1 1 — In X —- Ii X 2 Интегральный логарифм
13.6.32. т 1 + т X Каннингема
13.6.33. ~ 2 0 2х Бейтмена
13.6.34. 1 1 ІХ '"t- "f' + , Si Ci Интегральные синус и косинус
13.6.35. 1 1 — ІХ '-"[y - (Si * - Ci(X)J «
13.6.36. ~ 2 1 2 Zt 2 2-""e'3nDJiz)
13.6.37. 1 V 2 2 3 Z2 2 Вебера или параболического цилиндра
13.6.38. 1 п 2 ~ 2 3 2 X1 2-nHn(x)fx Эрмита
13.6.39. 1 2 1 2 X3 y'V. exp (л3) erfc x Интеграл вероятностей
13.7. НУЛИ И ТОЧКИ ПОВОРОТА
Если Jb-L г — ^-Й положительный нуль функции Jb-і(х), то первое приближение X0 к г-му положительному нулю функции М(а,Ь,х) имссі вид
13.7.1. Xa =JLi.,^iOb - 4я) + O^I - aj JJ-
4+A-Hi
13.7.2. _?_iL.
2Ь - Aa
Более точное приближение вычисляется по формуле
13.7.3. XfXt- М(а, Ь, Х,)1М'(а, Ь, X1).
Для производной получаем 13.7.4. М'(а, Ъ, Xi) -
= М\а, b, Xg)i 1 + № - Жо)
М(а,Ь, Х„) ] М'(а, Ь, X0) )
Если Xq есть первое приближение к точке поворота функции Міч. b. л'), т.е. к нулю функции МХа,Ь,х), то лучшее приближение можно получить до формуле
13.7.5. х; = х;
ХЦҐ(а, b. Xj) аМ(а, Ь Х'о)
Самосопряженное уравнение 13.1.1 можно записать также в виде
d
13.7.6.
dz
— a zb-xer*w. 13.8. использование и расширение таблиц
329
Теорема Сонина—Пойа
Максимумы и минимумы функции [>v| образуют возрастающую или убывающую последовательность » зависимости от того, является ли —ax-u'le lx возрастающей или убывающей функцией х, т.е. они образуют возрастающую последовательность для М(а,Ь,х), если а > Q1
х< Ь — --- или а<0,х>Ь---,и убывающую последо-
2 2
вательность, если в>Оил>і — — или а <0 и х < b — — • 2 2
Точки поворота функции | располагаются вблизи кривой
Ihx ii/1-Ь/г
13.7.7. w = ±r(&)7s-*'V» у - ах\ х
Л X
2b - Aa)
ПРИМЕРЫ
13.8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
Вычисление функции М(а, Ь, дг) Преобразование Куммера
Пример 1. Вычислить M (0.3, 02, -0.1) с 7S.
Используем 13.1.27 и табл. 4.4 и 13.1. Полагая а = 0.3, Ь - 0.2, получаем М(0.3, 0.2, - 0.1) = ?-4,1/(-().1, 0.2, 0.1) = 0.85784 90. Таким образом, 13.1 27 можно использовать для расширения табл. 13.1 в область отрицательных значений х. Если а и Ъ велики и приблизительно равны, при больших или малых л* также можно использовать преобразование Куммера.
Пример 2. Вычислить М( 17, 16, 1) с 7S.
Здесь а = 17, 6=16 и Д/(17, 16, |)«=е1Л/(-1, 16,-1) = = 2.71828 18 X 1.06250 00 = 2.88817 44.
Рекуррентные соотношения
Пример 3. Вычислить М(-1.3, 1.2, 0.І) с 7S. Используем 13.4.1 и табл. 13.1. Полагая а - -0.3, b - 0.2, получаем Af(-1.3, 0.2, 0.1) - 2[0.7А/(-0.3, 0.2, 0.1) -— 0.3д/(0.7, 0.2, 0.1)]= 0.35821 23. По формуле 13.4.5 при а = —1.3 и /> = 0.2 имеем А/(—1.3, 1.2, 0.1) = = [0.26 Д/( —0.3, 0.2, 0,1)- 0.24JIf(—1.3, 0.2, 0.1)]/0.15 = = 0.89241 08.
Аналогично, при а = —0.3 и Ъ = 0.2 получаем А/(-0.3, 1.2, 0.1) = 0.97459 52.
Проверим но формуле 13.4.6: Af(— 1.3, 1.2,0.1) = = [0.2 Л/(—0.3, 0.2, 0.1) -!-1.2 Af(- 0.3, 1.2. 0.1)1/1.5 = = 0.8У241 08. Таким же образом можно использовать 13.4.1 — 13.4.7 совместно с 13.1.27 для расширения табл. 13.1 на интервалы -10^д<10, -lOsSo^lu, -10«S*<10.
Десятикратное применение этих рекуррентных формул в любом направлении ведет к потере примерно олнои значащей цифры. Все рекуррентные соотношения устойчивы, за исключением следующих случаев: а) а < О, Ъ <0 и \а\ >|6|, х>0 или Ъ) Ъ < а, Ь < 0, \Ь - а\ > \Ь\, *<0, когда колебания функции становятся большими, особенно если тоже велико.
В полосе b — —п і 0.1, где функция численно слишком велика, нельзя применить ни интерполирование, ни рекуррентные соотношения. В частности, М(о, Ь, *) нельзя вычислить в окрестности точек а -- —т, b = — п, гн < v, так как вблизи этих точек малое изменение a, b или х влечет за собой очень большое изменение численного значения функции М(а,Ь,х).
Пример 4. В точке (— 1, — ],*) функция M(a,b,x) не определена. Если а — —1, то для всех х имеем
M(—l,b, х) = I — Следовательно, lim М(—1, Ь,х) — Ь ь-»--1
= 1 + .V.
Однако M(b, b,x) = ех для всех л при и — Ь. Полому lim M(b, Ь, л) — сх. В первом случае b — 1 вдоль линии b -1
а = —1, а во втором случае b-*-— 1 вдоль линия а — Ь. Производные
Пример 5. Вычислить М'(—0.7, -0.6, 0.5) с 7S. При а — —0.7 и S= —0.6 по формуле 13.4.8 имеем
ЛГ(-0.7, -0.6, 0.5) = -
- Af(0.3,0.4, 0.5) = 1.724128.
Асимптотические формулы
Для лг > 10 и малых а и b функцию М(а,Ь,х) можно вычислить по формуле 13.5.1, используя множители сходимости 13.5.3 и 13.5.4, которые позволяют в случае необходимости улучшить точность.
Пример 6. Вычислить 3/(0.9,0.1,10) с 7S, используя 13.5.1.
M(0J9, 0ЛГ 10) -
Г(0.1) Г( —0.8)
,„-».» f .<«•!>. о л. +
Г(0.1) ,
^ Г(0.9)
»,!(-10)» ^(-0.8),(0.1),
+ O(IOjlf) =
ЦІЮ»
= - 0.198(0.869) + 1237253(0.99190 285) + + O(I) = 1227235.23 - 0.17 + O(I) = 1227235 -
0(1).
Для контроля по табл. 13.1 находим MiQS, 0.1,10) —
— 1 227 235.
