Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Для вычисления М(а,Ь,х) при белмпих а, малых -Y и малых или больших b следует исиользовать 13.5.13 и 13.5.14.
Пример 7. Вычислить М(-52.5,0.1,1) с 3S, используя формулу 13.5.14.
М(-52.5, 0.1, 1) = Г(0.1) е0,в(0.05 + 52.5)°'25-"5 X
X0.5642 cos [(0.2 - 4(-52.5))"'1 - 0.05л: + 0.25л]х
Xll + 0((0.05 + 52.5)-0-5)] - -16.34 + 0(0.2).
Непосредственным применением рекуррентного С ClOlHO-шения для Af(-52.5, 0.1, 1) получается значение —16.447.
Для вычисления Mia, b, a I при больших Л', а и (или) Ь следует дрименить 13.5.17, 13.5.19 или 13.5.21. 330
13. вырожденные гипергеометрические функции
Пр и м е р 8. Вычислить Af (—52.5,0.1,1) с 3S, используя 13.5.21 при cos б — VI/210.2.
М( —52.5, 0.1, 1)=Г(О.1)е1О5-1смЕ0[1О5.1 cos 6]1"0^
X0.5641 • 52- 55-1'* sin 20-1'3 [sin (-52.5тг) +
+ sin J 52.55(29 - sin 20) + —} -f
+ 0((52.55)"1)] = -16.47 + 0(0.02).
Полішй набор асимптотических формул, которые давали бы результат во нсех возможных случаях, пока не известен.
Вычисление функции и(й, Ь, х)
При -10 < х < 10, —10 < в < 10, -10 < 6 < 10 это можно сделать по формуле 13.1.3, используя табл. 13.1 и рекуррентные соотношения 13.4.15 — 13.4.20.
Пример 9. Вычислить (/(1.1,0.2, 1) с 5S. Исполь-зувтабл. 13.1,4.12 и 6.1 и формулу. 13.1.3, получаем
С/(0.1, 0.2, 1) =
в я (Д/(0.1, 0.2, I) _ А/(0.9, 1.8, 1 )1 = sin (0.2тс) [ Г(0.9)Г(0~2) Г(0.1)Г(1.8) J По формуле 13.4.4 имеем
М(0.9,1.8,1) —0.8[М(0.9, 0.8,1)-Л/(-0,1,0.8,1)] = 1.72329.
Следовательно, ?7(0.1, 0.2, 1) — 5.344799 (0.371765 — - 0.194486) = 0.94752. Аналогично,
U(-0.9, 0.2, 1) = 0.91272.
Теперь по формуле 13.4.15 получаем 17(1.1,0.2,1) = = [?7(0.1, 0.2, !)-[/(—0.9, 0.2, 1)]/0.09 — 0.38664.
Пример 10. Вычислить 0.9,-0.8, 1) с 5S. По формуле 13.4.21 имеем
?/'(— 0.9, -0.8, 1) = 0.9 ?/(0.1, 0.2, 1) =
= (0.9) (0.94752) = 0.85276.
Асимптотические формулы
Пример 11. Вычислить С/(1,0.1,100) с 5S. Используя 13.5.2, получим
U(l, 0.1, 100) =
™ 1 Ji _ 1-9 1.9 2.9 _
100 j 100 + 100 100
19 2 9 3 9 1
100 100 100 J
- 0.01{1 -0.019 + 0.000551 - 0.0000 21 + 0(10-9)} -
- 0.00981 53.
Пример 12. Вычислить 1/(0.1,0.2,0.01). При малых X следует примепигь 13.5.6-13.5.12. Используя 13.5.10, получаем результат с 3 значащими цифрами:
С/(0.1, 0.2, 0.01) = Г(1 ~ °'2) + 0((0.01)1"*0 ®) -Г([.1 - 0.2)
= + 0((0.01)08) - 1.09.
Г(0.9)
Для вычисления U(a,b,x) при больших а, малых х и малых или больших b следует исиолъзовать 13.5.15 или 13.5.16.
Для вычисления U{а, Ь, х), когда х, а и (или) Ь велики, следует использовать формулы 13.5.18, 13.5.20 или 13.5.22. Во всех этих случаях по величине остаточного члена можно судить о том, сколько можно получить верных значащих цифр.
Вычисление функций Уиттекера
Пример 13. Вычислить M0-o.-оч(1) и W0. о, _<м(1) с 5S. По формулам 13.1.32 и 13.1.33 и табл. 13.1, 4.4
находим
Л/о.о.-о.4<1) = е-0'5 М(0.1, 0.2, 1) = 1.10622,
#0.0,-0.4(1) - (Tu"5 1/(0.1, 0.2, 1) - 0.57469.
Таким образом, значения AZii1a(л-) и Wki1l(X) всегда можно найш, если известны значения M(а, Ь,х) и U[а, Ь, л).
13.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ И ТОЧЕК ПОВОРОТА
Пример 14. Вычислить наименьший положительный нуль функции М(~4, 0.6. х). Он расположен вне пределов табл. 13.2. Используя 13.7.2, получаем первое приближение
„0.174.
17.2
Используя 13.7.3, имеем
Xl-Xt- м( -4, 0.6, х,)Ш'{-4, 0.6, ад.
По формуле 13.4.8 получаем
M'i-4, 0.6, Xo) = - (0.15)"1 М(-3, 1.6, Xo). Итак, в качестве второго приближения находим JT1 - Xo + 0.15М(-4, 0.6, XoiIMi-3, 1.6, Xo) =
- 0.174 + (0.15) (0.030004) - 0.17850.
Повторяя эти вычисления, получаем искомое значение с 7S:
Xt-X1 + 0.00002 99 - 0.17852 99.
Bi,I1ClC i.(!IIv1 максимумов и минимумов
Пример 15. Вычислить значение х, при котором функция М(—1.8, — 0.2,х) имеет точку поворота. Используя 13.4.8 и табл. 13.2, находим M'i- 1 8, — 0.2,х) = = 9МІ-0.8, 0.8, х) - 0 при * = 0.94291 59. Таким же образом, АГ"(-1.8, -0.2,.i) ^ 9ЛГ'(-0.8,0.8,*) -- -9ДГ(0.2, 1.8, х) и, следовательно, Mi0.2, 1.8,0.94291 59) >0.
Таким образом, ЛЯ- 1.8, --U.2, л) имеет максимум по X при л: = 0.94291 59.
Пример 16. Вычислить наименьшее положительное значение х, при котором Mi-3,0.6, х) имеет точку DOBO- 13.10 ГРАФИЧРСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ М(в,&,*,)
331
Рис. 13.2. М(а, 1, *).
Рис. 13.3. М(а, 0.5, х). 332
и. вырождбнныв гипергеометрияескив функции
рота Х{. Эта точка находится вне пределов табл. 13.2. Используя 13.4 8, получаем
М'(-3, 0.6, х)= — ЗЛГС—2. 1.6, х)/0.6. По формуле 13.7.2 для М(~2,1.6, ж) находим Xo = (1.05 7гУУ(11.2) = 0,9715. Мы получили первое приближение к Ar0' для М(—3,0.6, х).
Используя 13,7.5 и 13.4.8, находим второе приближение с 4 значащими цифрами:
L -ЗЛ/{-3, 0.6, Xo) J
= r T1___щ-2,1.6, і =
° L 0.6Л/(-3, 0.6, JQ J
= 0.9715 X 1.0163 - 0.9873.
Этот процесс можно повторять до получения результата
с необходимом точностью.
На рис. 13 4 изображены кривые, на которых функция М(а, Ь,х) равна кулю в плоскости а,Ь, когда л -- 1. Эта
