Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
цилиндра.
Радиальные перемещения произвольной точки цилиндра обозначим и. Она
является функцией радиуса г и не изменяется по длине цилиндра. Рассмотрим
деформацию элемента (рис.22.3). Вследствие осевой симметрии радиальные ег
и тангенциальные st относительные деформации зависят только от и. Точка
А, вследствие деформации получает перемещение и, а точка В - перемещение
и+ du. Тогда
Длина отрезка окружности CD до деформации равна 2лг. После деформации
радиус увеличился на величину и и длина отрезка стала равной 2ж{г + и).
Следовательно
_ 2л{г + и)~ 2лг _ и
?
du
dr
u + du
О
2лг
г
323
Относительная деформация цилиндра в осевом направлении постоянна по всему
сечению, т.е.
?z =const
Будем рассматривать это соотношение как условие совместности деформаций.
Выразим sz через напряжения из обобщенного закона Гука.
Gz=\ к* - far + /)] = const •
Так как Е и // - постоянные, характеризующие механические свойства
материала цилиндра, а а7 = const, то
<т+<т=А = const
это соотношение является условием совместности деформации.
Отсюда находим crt=A-cг. и подставляя в уравнение равновесия получим
2crrdr + rdcrr = Adr. Левую часть уравнения
можно записать в виде -d(crrr2)= Adr. Интегрируя это уравнение
находим сггг2=А- + В. Постоянные А и В определяются из граничных условий
на поверхностях цилиндра
=-pi>
г\ Г=Г} 17
= -Д
2 >
-Ptf=4r?+B
-Рл2=~г?+В
Решив эту систему совместно, получим:
Л Prf-Prf -Р2)
2
Г2 ~Г1
Г2 ~Г1
Подставим значения - ийв формулу для стг, получим:
psddd 1
Г2 ~Г1
Г2 ~Г1
Формулу для <у( получим из уравнения совместности деформаций.
Ptf-Ptf , rtfft-Pt) 1
ст. ^ f^ +
Г2 ~Г\
2 2 2 ' r2 -r, r
Перемещение u найдем используя выражение для st и обобщенный закон Гука
324
Подставляя выражения для напряжений, получим
1 -flPrf-P2r22l-ttrfrffc-pjl fl
и =-- т^г + -- 1 2; 1 , 2 ---err
Е 1*2 - Е i*2 - i*x г Е
Это формулы Ляме для определения радиальных
перемещений в толстостенны цилиндрах.
Следует иметь в виду, что приведенные выше формулы для
определения перемещений и напряжений справедливы для
сечений удаленных от торцов цилиндра.
Рассмотрим два частных случая загружения цилиндра.
1). Цилиндр нагружен только внутренним давлением; Р1=Р,
Р2= 0.
Формулы для напряжений и перемещений в этом случае имеют вид:
"¦ * '"г,2-Г,2
( 2 \ 1Л
V r J
.2
t 2 2
Г2 ~Г\
2 2
f 2 \ 1 Г2
V r J
p.
l-p Pr, l + prtfPl
77" 2 2 77" 2 2
E r2 ~rx E r2 ~rx r
Эпюры распределения напряжений по толщине цилиндра построенные по этим
формулам приведены на рис.22.4. Напряжения по толщине цилиндра изменяются
по гиперболическим законам, причем ст. всюду сжимающее, a at -
растягивающее.
На наружной поверхности (при г = г2)
2 г2
су =0, су
Г2 ~Г\
На внутренней поверхности (при г = гх)
2 , 2 " Г, +Г~ п
СУ = -Р СУ = ------------------- Р
и г 1 у и t 2 2 *
Г2 ~Г\
Наибольшие значения cyt и суг действуют на внутренней поверхности
цилиндра. Следовательно, наиболее опасными с точки зрения прочности
цилиндра являются точки расположенные на внутренней поверхности.
325
Рис.22.4
Исследуем, как изменяются напряжения crt и ст. в зависимости от толщины
цилиндра h. Пусть r2=rl+h. Тогда , =(r,+ft)2+r,2 , = 2Г,2
1' '' /г(2/- + h) ' !'' ' h{2t\ + h)
Радиальные напряжения не зависят от толщины цилиндра: на внутренней
поверхности сгг=Р,на. наружной - ст. = 0.
При малом значении h
I I У
<т "<т "-Р.
г !?•=?•, г 1г=^ ^
Таким образом, в тонкостенных цилиндрах тангенциальные напряжения crt
распределяются почти равномерно по толщине, и
г
относятся к величине радиальных напряжении ст., как -.
h
Если толщина цилиндра увеличивается и г2= со, выражения для напряжений
принимают вид:
...4,, -4,
Г Г
На внутренней поверхности crt = -ст. = Р.
326
2).Цилиндр нагружен только внешним давлением Р2=Р1, Р}=0. Из формул Ляме
в этом случае получим:
Г 2 \ V r J
Г2 ~Г\
2 2 ;
Г 2\ V r J
1 + р гхг2Р 1
Графики распределения напряжений по толщине цилиндра построчные по этим
формулам приведены на рис.22.5. Из графиков видно, что сг. и crt -
отрицательны во всех точках.
Рис.22.5
На внутренней поверхности (при г = гх)
=0> <Jt=-r^p-
Г2 ~Г1
На наружной поверхности (при г = г2)
2 , 2 " Г, + Г, "
<7 = -Р СУ - ------ Р
и г 1 у и t 2 2 *
Г2 ~Г1
Наибольшие по абсолютной величине напряжения crt действуют на внутренней
поверхности цилиндра. Следовательно,
327
наиболее опасным с точки зрения прочности цилиндра и при действии
внешнего давления являются точки расположенные на внутренней поверхности
цилиндра.
Из рассмотренных примеров следует, что для хрупкого материала более
опасным является случай действия внутреннего давления, так как возникают
большие растягивающие напряжения crt, которые могут привести к
разрушению. При действии внутреннего давления РХ=Р и увеличении толщины
стенки, т.е. при r2= оо, oymax =Р, <тг = -Р. Используя 777-ю теорию
прочности сг, -сг3 < [<т], получим Р - (-Р) < [<т], Р < И т.е.
давление в цилиндре не должно превосходить некоторой постоянной величины.
