Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
линии до наиболее удаленной точки.
24.3 Вынужденные колебания системы с одной степенью свобода
Пусть на балку кроме сосредоточенного груза Р действует периодическая
возмущающая сила
P{t) = Р0 sin
где Р0 - амплитуда возмущающей силы, р - ее частота (рис.24.4).
X
*>
Тогда, как отмечалось выше, упругая система будет
совершать вынужденные колебания. Для составления уравнения
движения в этом случае кроме сил упругости и инерции следует
учесть и возмущающую силу. В результате получим
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы
с одной степенью свободы
Р d2w w _ . "
5- + - = Р() Sin рГ
g dt2 5 0 Н
Представим это уравнение в виде
352
где g = ^r-
Таким образом, получено неоднородное (с правой частью) дифференциальное
уравнение второго порядка. Полное его решение состоит из общего решения
однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее
решение однородного уравнения описывает свободные колебания системы и
получено нами ранее. Частное решение неоднородного уравнения описывает
вынужденные колебания и представляется в виде
W* = С sin
Подставляя его в дифференциальное уравнение и учитывая,
что
d2w
dt7
получим
= -Ср sin р^
с = q
со2 - р2
Тогда решение уравнения для вынужденных колебаний системы с одной
степенью свободы можно представить
Здесь первое слагаемое в правой части характеризуют свободные колебания,
а второе слагаемое характеризует вынужденные колебания системы, которые
происходят с частотой возмущающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний
равна
а = г_____
0 ш2-р2'
Представим ее в виде
A,=P0&-f-T = wCI(P")Kt, со - р
где wCT = Р08 - прогиб балки от статического действия силы Р0;
Ко = -- =------\ . , - динамический коэффициент.
g ш2-р2 1-р2/ю2 ^
График зависимости Kg от отношения р2/ю2 представлен на рис.24.5
353
Рис.24.5
Из этого графика видно, что при р /ю = 0, К = 1 амплитуда
вынужденных колебаний незначительно отличается от прогиба балки при
статической нагрузке. При р /со = 1, Kg^> оо, т.е. А0 -" оо,.
Таким образом, когда частота вынужденных колебаний р приближается к
частоте собственных колебаний ю, амплитуда вынужденных колебаний А0, а,
следовательно, и напряжения в сечениях балки, неограниченно возрастают.
Это явление в технике называется резонансом.
Заметим, что в реальных конструкциях всегда наблюдается затухание
собственных колебаний из-за наличия сил
сопротивления, которые следует учитывать при их расчете.
354
24.4 Учет влияния сил сопротивления
Природа сил сопротивления может быть разной: сопротивление среды, трение
в шарнирах, внутреннее трение между частицами материала и т.д. Их
зависимость от характеристик движения системы зачастую бывает сложной и
трудно поддается определению. Поэтому часто, для упрощения решения
задачи, принимают ее пропорциональной скорости движения
Л = -а^. dt
Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид
где 2п =
ag
Решение этого уравнения можно представить в виде
w = Ae nt sin(ro^ +ф).
где GOi = л/go2 -п2.
Из полученного выражения видно, что амплитуда колебаний уменьшается, а
частота сох зависит от затухания (рис.24.6)
В случае, когда на систему действует возникающая сила, как в
рассмотренном выше случае, ее колебания описываются дифференциальным
уравнением
Это неоднородное дифференциальное уравнение и, как отмечалось выше, его
решение состоит из общего решения однородного и частного неоднородного
уравнения. Решение однородного уравнения представлено выше, а решение
неоднородного будем искать в виде
w* = АСХ sin + С2 cos .
355
т
______________
/
_ f
л
Рис.24.6
Постоянные Q и С2 подберем так, чтобы уравнение удовлетворялось
тождественно. Тогда
С -________________з(ю2-Р2)________
1 (ш2-р2)+4р2й2'
= 2 qfin
2 (со2 -р )+4р2и2 '
а частное решение неоднородного уравнения представим в виде
w* = А0 sin(pr +\|/),
4 Ч 2Bw
где Ап = , , tew = -г-!---.
V(co2-P2)+4 pV ш2-Р2
Динамический коэффициент в этом случае имеет вид
* = 1______________________
8 V(l-p2/co2)+4pV/co4
Как видно из этой формулы, коэффициент динамичности зависит от отношения
частот вынужденных и собственных колебаний и от величины затухания.
Кривые зависимости Kg от
отношения р /ю для некоторых значений у =пТ представлены на рис.24.7.
При наличии затухания {пф 0) величина Kg всегда остается
0 ~ ю2
конечной, но при р = ю имеет максимум равный К =---------.
8 4р п
356
24.5 Расчет консольной балки на действие периодической нагрузки
Рассмотрим консольную балку длиной /, к свободному концу которой
приложена нагрузка изменяющаяся по закону
P{t) = Р0 COS .
Начальные условия зададим в виде w = 0 и - = 0 при t = 0.
dt
Пренебрегая весом балки, будем рассматривать ее как систему с одной
степенью свободы. Используя полученное нами решение и начальные условия,
найдем постоянные уравнения для определения постоянных интегрирования
357
^sincp +
Ч
ю2-р
= 0, соА ссюф = О
Откуда находим ф =7г/2, А = -2 ^ .
Тогда внутренние колебания балки описываются функцией
