Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
движении
Рассмотрим задачу о расчете троса, поднимающего груз Р с ускорением а
(рис.23.1).
Площадь поперечного сечения троса - F, объемный вес
материала троса - у .
Если груз находится в покое или поднимается равномерно, т.е. без
ускорения (рис.23.1а), то на расстоянии х от груза продольная сила будет
равна
Ncm=P+jFx (23.1)
где yFx - вес участка троса длиной х. Если груз
поднимается с
ускорением (рис.23.16), возникает сила инерции QUH, направленная вниз.
\0\ин = та = а (23.2)
§
333
б)
Рис.23.1
Здесь g = 9.81 Ц^2 - ускорение свободного падения.
=-p+r^+a" =/,+r-a+^±2^e=(i>+rW 1+-] (2з.з)
г (г)
Обозначим
= KD,
(23.4)
1 +
v Sy
где KD - динамический коэффициент.
Тогда продольная сила определяется как произведение статической
продольной силы на динамический коэффициент
(23.5)
Кдин =
Определим динамическое напряжение:
___________________ ^дин is ^ст
а дин - т-, - j-,
^ дин ^ cm '
(23.6)
Если груз опускается с ускорением а, то величина а будет входить в
формулу (23.4) со знаком "минус". При свободном падении груза при a = -g,
KD= 0, т.е. трос будет следовать за грузом без натяжения, а дин = 0.
334
23.2 Определение напряжений и перемещении при ударе
Под ударом понимается взаимодействие движущихся навстречу друг другу тел
в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей
точек этих тел за весьма малый промежуток времени.
Ударная нагрузка является динамической. Время удара измеряется в
тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигается
большой величины, например, действие кузнечного молота на кусок металла,
удар падающего груза при забивке свай и Др.
За очень малый промежуток времени скорость ударяющегося тела становится
равной нулю. В этот момент напряжения и деформации в системе достигают
наибольших значений. Целью расчета на удар и является определение
наибольших деформаций и напряжений.
Система, подвергающаяся удару, может испытывать различные деформации:
сжатие, растяжение, изгиб, кручение, изгиб с кручением и др. Поэтому
различают продольный, поперечный, скручивающий удары (рис.23.2).
а)
Н
И
б)
////////
ш
77777777
Я
/7777777
Рис.23.2
На рис.23.2а и 23.26 показаны продольные удары - сжимающий и
растягивающий, на рис 23.2в - показан поперечный изгибающий удар.
335
Скручивающий удар имеет место при падении груза G с высоты Н или при
резком снижении угловой скорости ю вала с маховиком, например, при
внезапной его остановке (рис.23.2г,д).
Точное решение задачи о напряжениях и деформациях при ударе
затруднительно, потому что неизвестен закон изменения скорости при
соударении тел, и, следовательно, действующих при ударе нагрузок,
неизвестны силы сопротивления при ударе, чрезвычайно сложен закон
распространения скорости деформации в системе, воспринимающей удар.
В практике применяют упрощенные методы расчета, основанные на следующих
основных допущениях:
1) деформации стержня от ударяющего груза распространяются по всей длине
стержня, они подчиняются закону Гука и подобны деформациям, возникающим
от статического приложения того же груза. Поэтому связь между
динамическими силами и перемещениями остается такой же, как и при
статической нагрузке;
2) опорные устройства, как правило, полагают абсолютно жесткими;
3) ударяющее тело является абсолютно жестким и при ударе не отскакивает
от системы.
Изучение напряжений и деформаций при ударе основано на использовании
закона сохранения энергии. При этом предполагается, что кинетическая
энергия падающего груза А численно равна потенциальной энергии деформации
упругой системы U.
(23.7)
Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела,
подвергающаяся удару, мала и ею можно пренебречь.
Продольный удар Груз G падает с высоты Н и ударяется о стержень, вызывая
его сжатие на величину Адин, которая больше деформации стержня Аст при
статическом действии груза G (рис.23.3).
Кинетическая энергия падающего груза равна
A = G{H + AMJ (23.8)
Потенциальная энергия численно равна площади треугольника диаграммы Рдин
-Адин (рис.23.4).
A = U
336
№
w,
H
xquu
777777
Рис.23.3
U = -Р,,Л
дин дин
С учетом зависимости (23.7) имеем
С(Н + Адш) = ±РдшА
дин
Рис.23.4
(23.9)
(23.10)
337
Выразим нагрузки через деформации
А =(r)-
ст рр
G = А,
Р I
д дин р д
дин 1 '*•¦¦¦
EF
~Т
EF
дин ^
Выражения (23.11) и (23.12) подставим в (23.10). Имеем:
EF, ч_ 1 2 EF
cm j \ дин) ~ 2 дин j '
AcmH ^ АстАдин~\^дин =0>
А2 Н-2Л Ал -2ЯД =0
cm cm дин cm
Получим квадратное уравнение для определения Адин.
АЛ = А ± Л/А2 + 2ЯЛ
шн cm V cm cm
В формуле (23.14) перед корнем следует взять знак Адин>Аст- Тогда
(23.11)
(23.12)
(23.13)
(23.14) так как
А, = А +Л/А2 +2ЯА = А + А 1 +
смн cm V cm cm cm cm л \
2 Я
= A,
1+. 1 +
2 Я
(23.15)
= Acm^D
cm /
Динамический коэффициент будет равен
==!+./! +
2 Я
(23.16)
Зная коэффициент можно определить и напряжения
^ дин ^ cm
Ql
Динамический коэффициент зависит от величины А^ =-.
