Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
будучи выведенной и состояния равновесия кратковременным внешним
воздействием продолжает движение под действием внутренних упругих сил.
Собственные колебания продолжаются до тех пор, пока полученная,
вследствие внешнего воздействия на систему, энергия не израсходуется на
работу по преодолению сил трения.
Вынужденные колебания происходят в упругой системе под действием
периодически изменяющихся во времени внешних сил, не зависящих от
колебаний системы. В отличие от собственных, вынужденные колебания не
затухают, несмотря на наличие сил трения. Это связано с тем, что система
получает энергию со стороны возмущающих воздействий, которая расходуется
на преодоление имеющегося сопротивления.
Колебания упругих систем классифицируют также по виду деформаций упругих
элементов конструкций. Стержневые системы могут совершать продольные,
поперечные или крутильные колебания.
Продольными называются колебания, при которых перемещения всех точек
стержня происходят в направлении продольной оси. Такие колебания приводят
к равномерному по поперечному сечению растяжению и сжатию стержня.
Поперечными называются колебания, при которых все точки стержня
перемещаются перпендикулярно оси стержня. Напряженное состояние стержня в
этом случае такое же, как при статическом изгибе балки, поэтому такие
колебания называются так же изгибными.
Крутильными называются колебания, которые сопровождаются деформацией
кручения. Такие колебания, как правило, возникают в валах, работающих на
кручение.
24.2 Собственные колебания упругой системы с одной степенью свобода
Задачи о колебании систем с одной степенью свободы рассматриваются в
курсах теоретической механики. В качестве таких систем рассматривают
обычно груз, подвешенный на нерастяжимой нити или на пружине, и
совершающий гармонические колебания около положения равновесия.
348
Мы рассмотрим балку на двух опорах, из абсолютно упругого материала на
которую действует груз весом Р (рис.24.1).
Если весом балки можно пренебречь по сравнению с весом груза Р, то ее
можно рассматривать как систему с одной степенью свободы.
При составлении уравнений движения груза используем принцип Даламбера,
который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе можно
применять уравнения равновесия статики, если силы инерции включить в
число внешних сил.
X
Пусть в некоторый момент времени t груз Р переместился на величину w от
положения статического равновесия wCT (рис.24.1). В процессе движения на
груз действуют силы упругости балки Рг, и силы инерции. Силы упругости
равны
Р=-1 5 '
где 8 - прогиб балки от действия силы Р = 1.
Сила инерции равна произведению массы на ускорение и направлена против
ускорения
РЛ ' g dt2
где g - ускорение свободного падения.
Спроектировав все силы, действующие на груз, на
вертикальную ось получим уравнение свободных колебаний
балки с грузом как системы с одной степенью свободы.
Р d2w w _
=- + - = 0
g dt2 5
Запишем это уравнение в виде
d2w 2 -- + со w = 0 dt2
349
ных колебаний системы
w = Al sinatf + Л2 cos Ш
где Ах и А2 - постоянные интегрирования, которые зависят от положения и
скорости массы в начальный момент t = 0. Выражение для w можно
представить в виде
Здесь постоянными являются амплитуда А и начальная фаза ср, значения
которых определяются из начальных условий. График изменения w во времени
представлен на рис.24.2
Из этого уравнения и графика видно, что при изменении ш на 2п прогиб w не
изменится. Следовательно, упругая система за время t = 2я/ю совершает
одно колебание, а за t = 2n-a> колебаний. Поэтому ю называется круговой
частотой. Период колебаний определяется формулой
w = ^4sin(ro^ + ф)
t
>
Т = 2п /ю
/
Рис.24.2
350
В качестве примера рассмотрим балку на двух опорах пролетом / постоянного
поперечного сечения. На балку действует груз весом Р, расположенный
посередине пролета (рис.24.3).
Отклоним балку с грузом вниз на величину А от положения
статического равновесия и отпустим в момент времени г = 0.
Такому возмущению системы соответствуют начальные условия
dw _ Л
w = А, - = F = 0, при г = 0. dt
Используя уравнение движения груза и начальные условия найдем уравнения
для определения постоянных интегрирования
^sincp = А Лео coscp = О
X
тс
Из этих уравнений находим у =-Л = А. Следовательно,
уравнение свободных колебаний для рассматриваемого случая имеет вид
w = Acosco?
F
Учитывая, что 8 = находим
48 EJ
ю
g 48gEJ
V РЪ V Р1г
Л Р/3
= А л .
48 EJ
где EJ - жесткость балки при изгибе.
Определим максимальные напряжения ст^, возникающие в сечениях балки.
В каждый момент времени на балку действует вес груза Р и силы инерции,
которые как отмечалось выше равны
351
" P d2w 48AEJ
P = Г- = COS CO?
г g dt2 /3
Максимальный изгибающий момент возникает в точке приложения груза. Он
равен
12 AEJ Р1
мт=-р-+-^
Определим максимальные напряжения ст^, возникающие в
сечениях балки
ст =
max
12 АЕуа
Р1
W 12 4 W
где W - момент сопротивления, утяк - расстояние от нейтральной
