Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
из частей баллона
^ Р7 -kR1 р- <т2 2kR = О
Откуда
Следовательно, окружные напряжения сгх вдвое больше меридиональных <т2.
Для оценки прочности баллона воспользуемся теориями прочности:
1. По первой теории прочности:
&L =(ТХ <[сг],
PR
т.е.
<[сг] или
2. По второй теории прочности:
°'L =cjx-pcj2<\cj]
PR PR u^PRn n* ч
- ~p-<[(T], h >--(1-0.5//)
h 2 h [cr]
3. По третьей теории прочности:
так как <х, = 0, то сг''' = сг, = <т' .
3 " же 1 же
4. По четвертой теории прочности:
Подставляя сюда выражения для <т, и <т2 получим
PR Л
h >
[а] 2
Пример 2. Расчет на прочность шарового котла (рис.21.6). В этом случае
вследствие центральной симметрии
Pi = Pi = ^ 1 = ^2 = &
Поэтому из формулы Лапласа получим
PR о = -.
2 h
317
Рис.21.6
Из условия прочности по первой, третьей и четвертой теориям прочности
имеем:
н>**. ад
По второй теории прочности
PR
h>-a-M).
2[d]
Пример 3. Расчет на прочность конического резервуара (рис.21.7)
заполненного жидкостью с объемной плотностью у.
В этом случае
А=-"> Р2=°°> P = y(H-z) cos а
Из уравнения Лапласа
ztga оо h cosa
находим
K# "
1 г,
hcosa
Для определения воспользуемся формулой для меридионального напряжения в
случае резервуара, заполненного жидкостью. В этом случае:
318
1 2
Р - у(Н - z)nz2tg2a + -7iz2tg2a = ynz2tg2a(H ~~z)
Тогда
2
yziH - - z)tga
(J 2 a
2hcosa
Исследования показали, что достигает максимума при z = Н/2 и равно
_max yH2tga
(У i =--------,
4/г cosa
3
а <т2 - при z = -Я и равно
_тах 3 yH2tga
(72 ----------•
16/icosa
Поэтому для оценки прочности конического резервуара следует рассматривать
несколько сечений и найти наиболее неблагоприятное сочетание напряжений
ох и <т2.
319
ГЛАВА 22
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
В различных отраслях техники используются толстостенные цилиндры,
работающие при действии внутреннего и (или) внешнего давления, такие как:
сосуды высокого давления, стволы артиллерийских орудий, втулки с
прессовыми насадками, быстровращающиеся диски и т.д. При их расчетах
теория расчета тонкостенных оболочек не применяется, так как гипотезы,
положенные в ее основу, не выполняются. Методы расчета толстостенных
цилиндров загруженных внешним и внутренним давлением разработаны
французским ученым Г.Ляме. Поэтому эта задача называется задачей Ляме.
22.1 Толстостенный цилиндр под действием внутреннего и наружного
давления (задача Ляме)
Цилиндр считается толстостенным, если отношение толщины его стенки к
среднему радиусу больше одной десятой.
Рассмотрим толстостенный цилиндр с внутренним радиусом г1 и наружным - г2
находящийся под действием внутреннего рх и наружного р2 давления
(рис.22.1). Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузки напряжения и
деформации тоже будут симметричными относительно оси и одинаковыми во
всех поперечных сечениях. Поэтому из цилиндра можно вырезать двумя
поперечными сечениями кольцо толщиной / = 1 и рассмотреть его напряженное
состояние.
Выделим в этом кольце двумя радиальными сечениями, образующими между
собой угол dq> и двумя окружными сечениями, отстоящими друг от друга на
dr, бесконечно малый элемент ABCD (рис.22.2). Вследствие симметрии этот
элемент в процессе деформации перекашиваться не будет, поэтому на гранях
его касательные напряжения отсутствуют и действуют только главные
нормальные напряжения. Нормальные напряжения на цилиндрической
поверхности с радиусом г равны ст.; с радиусом r + dr - равны ст. + d<jr.
Нормальные напряжения в окружном направлении (тангенциальные) равны crt.
Третье главное напряжение <rz, действует на площадках совпадающих с
поперечным сечением. Его величина зависит от
320
условий нагружения цилиндра осевыми силами по торцам. В случае, когда на
цилиндр действует продольная сила N, осевые напряжения равны
N
321
При расчетах толстостенных цилиндров нельзя считать, что ст( = const по
толщине цилиндра и пренебрегать величиной радиальных напряжений сгг, так
как они могут быть того же порядка, что и crt. Поэтому расчет
толстостенных цилиндров нельзя производить по безмоментной теории
тонкостенных оболочек, т.е. пользоваться формулами, полученными нами в
предыдущей главе.
При закрытых с торцов цилиндрах их можно определить из условия равновесия
(ХДг =0) части цилиндра, так как на достаточном удалении от днищ
напряжения <т2 распределяются по поперечному сечению равномерно. Составим
уравнение равновесия части цилиндра. J^PZ = Р]т-]2 -Р2лг2 -crz(лг2 -
щ2)=0. Из этого уравнения получим
Для определения сгг и сг1 составим условие равновесия бесконечно малого
элемента ABCD (рис.22.2). Спроектируем все устойчивые силы на направление
вдоль радиуса цилиндра.
d(p
О
Рис.22.2
322
. da) d(p
бесконечно малыми второго порядка малости, получим
crrdr + rdcrr - cytdr = О
Так как в этом уравнении два неизвестных, а других уравнений равновесия
составить нельзя, то задача является статически неопределимой. Для ее
решения следует составить уравнения совместности деформаций элементов
