Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
13.4 Мембранная аналогия при кручении
При исследовании различных физических процессов математическими методами,
часто встречаются случаи, когда совершенно различные по физической
сущности явления сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям.
Тогда между этими явлениями (процессами) может быть установлена аналогия,
которая позволяет не решая уравнений сказать, что между функциями,
характеризующими первый физический процесс существует та же зависимость,
что и между функциями, описывающими второй процесс. Если физическое
содержание одного процесса допускает простое и наглядное толкование
зависимостей между функциями, его описывающими, то аналогия даст
возможность наглядно представить зависимости между соответствующими
функциями второго процесса.
Так в частности обстоит дело в задаче о кручении стержней. В теории
упругости показано, что независимо от формы поперечного сечения, задача о
кручении бруса сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и
задача о равновесии пленки, натянутой на контур того же очертания и
нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения
является угол между касательной к поверхности пленки и плоскостью
контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между
плоскостью контура и поверхностью пленки.
Пусть нужно установить закон распределения напряжений в заданном сечении
вала. Для этого на контур такого же очертания натянем пленку, которая
нагружена равномерно распределенным давлением. Мысленно сделав несколько
разрезов пленки, мы определим изменение угла наклона касательной к
поверхности пленки по сечению. В соответствии с мембранной аналогией
распределение касательных напряжений по сечению будет таким же. Заметим,
что при помощи мембранной аналогии можно получить не только качественные,
но и количественные результаты. Более подробно этот метод изложен в
специальной литературе.
186
13.5 Кручение стержней некруглого поперечного сечения
Определение напряжений при кручении стержней некруглого поперечного
сечения представляет собой сложную задачу, которую нельзя решить методами
сопротивления материалов. Точный расчет стержней некруглого поперечного
сечения возможен только методами теории упругости. Причина этого состоит
в том, что при кручении стержней некруглого поперечного сечения не
соблюдается гипотеза плоских сечений.
Боковые поверхности прямоугольного стержня после деформации перестают
быть плоскими, поперечные линии заметно искривляются, следовательно, и
поперечные сечения перестают быть плоскими, депланируют. Элементы,
ограниченные нанесенной на поверхность прямоугольной сеткой линий,
деформируются по-разному, в зависимости от их положения. Следовательно,
напряжение т является функцией двух координат в плоскости сечения, а не
одного лишь расстояния р от оси вращения. На взаимный поворот сечений Ар
оказывает влияние деплантация сечений, а не только крутящий момент и
расстояние /.
Проведенные методами теории упругости исследования показывают что
расчетные формулы для определения относительного и полного углов
закручивания, а также наибольших касательных напряжений при кручении
стержней некруглого поперечного сечения можно привести к виду
а М кр М Kpi М кр
GJK GJK ' max WK ' где Jк и WK геометрические характеристики некруглого
сечения, называемые моментом инерции и моментом сопротивления при
кручении.
Например, для стержня эллиптического сечения наибольшие касательные
напряжения достигаются на концах малой полуоси
г
max рр 5
где Wk = . На концах большой полуоси эллипса гтах = уттак; у = -;
16 h
Jk = +b2).
k 64
При h = b = d получаем Jk=Jp; Wk =Wp; у = 1, т.е. приходим к
формулам при кручении круглого стержня.
При кручении стержней прямоугольного сечения геометрические
характеристики Jk и Wk определяются по формулам
Wh = ahb2, Jk=phb\
187
где коэффициенты а и р определяются по таблицам в зависимости от
отношения Ь/. Наибольшего значения г = ^кр
/О тах ЦГ
касательные напряжения достигают на серединах длинных сторон
прямоугольника.
На серединах коротких сторон прямоугольного сечения касательное
напряжение определяется по формуле
^"max У^тга"
где коэффициент у также определяется по таблице в зависимости от
соотношения сторон ^. В угловых точках прямоугольника
касательные напряжения отсутствуют.
В учебниках и справочниках по сопротивлению материалов можно найти
формулы и таблицы для определения геометрических характеристик Jk, Wk
также и для других форм сечений брусьев, работающих на кручение.
13.6. Кручение тонкостенных стержней
В различных областях техники, машиностроении, строительстве и т.д.
используются тонкостенные стержни работающие на кручение. Характерной
особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина
существенно меньше прочих линейных размеров. Такие профили могут быть
замкнутыми и открытыми. Характер распределения напряжений в поперечном
сечении и методы расчета зависят от того, открытый или замкнутый профиль
