Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
интегрирование и суммирование по всем участкам.
4. Если в результате вычислений перемещение окажется
положительным, это означает, что его направление совпадает с направлением
единичной обобщенной силы.
14.4 Особенности определения перемещений в фермах
Фермой называется расчетная схема, состоящая из прямолинейных стержней,
соединенных между собой шарнирно. При узловой передаче нагрузки в
стержнях ферм возникают только продольные силы. Если при этом учесть, что
N = const и EF = const по длине каждого стержня, то из формулы Мора
получим формулу Максвелла для определения перемещения узлов ферм.
где Nkj и N ,- продольная сила в i-том стержне от действия
соответственно единичной обобщенной силы и внешней нагрузки; ЕЖ и /г,-
соответственно жесткость при растяжении и длины i-того стержня; п -
количество стержней фермы, т.е. суммирование необходимо выполнять по всем
стержням фермы.
201
Эту формулу впервые получил другим способом английский ученый Максвелл,
поэтому она называется формулой Максвелла,
14.5 Особенности определения перемещений в балках и рамах.
Способ Верещагина
Непосредственное вычисления перемещений в балках и рамах показывают, что
влияние продольных и поперечных сил на них ничтожно мало по сравнению с
влиянием изгибающих моментов. Поэтому при решении инженерных задач для
балок и рам при определении перемещений влиянием продольных и поперечных
сил можно пренебречь и пользоваться одночленной формулой Мора.
Формула Мора для определения перемещений в балках и рамах
В балках и рамах вычисление интеграла Мора значительно упрощается, если
на участке жесткость EJ = const, а одна из функций, например Мк -
линейная.
Рассмотрим прямолинейный участок длиной /, на котором EJ = const, Mk=a +
bx - линейная, а Мр - произвольная функция и
вычислим интеграл Мора (рис. 14.7).
202
LMkM dx 1 ' 4 \( \ ' '
I - = - I [a + bx)d(d = - a\ dm + b\xdm
EJ ^ ^ *
EJ-
EJ
1
V 0 GO
(aco + btox^) = -(a + bx") =
EJ c) EJ c) EJ
Учитывая это для определения перемещений в системе, имеющей п таких
участков, можно воспользоваться формулой Верещагина для определения
перемещений в балках и рамах
где сог - площадь эпюры Мр на i -том участке;
у( - ордината прямолинейной эпюры Мк, взятой под центром тяжести площади
сог .
Такой способ вычисления интегралов предложил в 1924 году Верещагин А.Н.,
будучи студентом 3-го курса Московского железнодорожного института.
Поэтому в литературе он называется способом Верещагина, или способом
перемножения эпюр по Верещагину, что символически можно записать так:
К =мрмк
При перемножении эпюр по Верещагину на одной из них надо брать площадь и
умножать на ординату, взятую под центром тяжести этой площади, на другой,
прямолинейной эпюре. Следовательно, если одна из эпюр, например М ,
ограничена
кривой, то площадь надо брать только на криволинейной эпюре. В этом
случае для вычисления площади необходимо использовать интегрирование. Для
того чтобы избежать интегрирования необходимо разбивать сложные эпюры на
простые, для которых легко определить площадь и положение центра тяжести
по готовым формулам. Например, вычислим интеграл Мора на участке, длиной
/, загруженном равномерно распределенной нагрузкой q, при ?7 = const
(рис. 14.8).
Пусть эпюра Мр ограничена кривой, а Мк - прямой. Разбивка эпюр Мр и Мк на
простые (треугольные и чистую выпуклую
параболу) показана на чертеже.
Путем интегрирования можно легко получить готовую формулу для определения
площади чистой выпуклой параболы
ql3
СО
12
центр тяжести которой находится посредине.
203
q
innniinnu'ni
Рис.14.8
Учитывая это, получим:
1
2 ' * 12
СО j - dl, СО 2 - , uij
?/3 1 hi
Юл = -Ы
Ординаты под центрами тяжести этих площадей находим из подобия
треугольников
204
- 3 ^ 2 2 J 3 3
Теперь
АкР=МРМк=-^г1?а>1У1-
EJ i=i
Если > 0, то по направлению оно совпадает с направлением действия
единичной обобщенной силы.
В тех случаях, когда на участке обе эпюры Мк и Мр
ограничены прямыми линиями, можно умножать площадь любой из них на
ординату другой.
Приступая к вычислению перемещений способом Верещагина необходимо
помнить, что им можно пользоваться только при выполнении следующих
условий :
1. Ось стержня на участке должна быть прямолинейной dS = dx;
2. Жесткость постоянная, т.е. EJ = const;
3. Одна из эпюр, например Мк, ограничена прямой.
В заключение изложим порядок вычисления перемещений способом Верещагина
на конкретном примере. Определим прогиб сечения К консоли при EJ = const
(рис. 14.9).
Задача решается в следующем порядке:
1. Построить эпюру изгибающих моментов Мр от действия
заданной нагрузки.
2. Изобразим вспомогательную систему, загруженную соответствующей данному
перемещению единичной обобщенной силой, т.е. силой Р = 1 и построим эпюру
изгибающих моментов Мк от ее действия.
3. Перемножим эпюры Мр и Мк между собой по Верещагину. Разобьем эпюру Мр
на прямоугольник и два треугольника, и
вычислим
PI 1 Р12
к
/
1/2
Тогда
11 _ 1
