Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим элемент меньшего радиуса р расположенного внутри стержня. Угол
сдвига элемента определяется по аналогичной формуле:
УР=Рв
Воспользуемся теперь законом Гука при сдвиге. На расстоянии р от оси
вращения получим:
т = pQG
т.е. касательные напряжения пропорциональны расстоянию от оси вращения до
заданной точки и изменяются по линейному закону от т = 0 до наибольшего
значения
176
max ^
На рис.13.3 показано распределение касательных напряжений вдоль
т
произвольного радиуса поперечного сечения
Подставляя значение т в интегральное уравнение равновесия, получим
J GpdpdF = Gd\р2 dF = GQJр = М№
F F
Из последнего равенства получаем
О - d(P _ МКр dx GJ
В этой формуле J - полярный момент инерции сечения.
Интегрируя выражение для в в пределах участка длиной /, где Мкр = const
получим
<р= \edx=\MKpdx
0 о GJ" GJ "
Эта формула представляет собой закон Гука при кручении и позволяет
определить угол закручивания.
Для определения величины касательного напряжения в любой точке сечения
подставляем значение в в формулу для т
Для наибольших касательных напряжений получим формулу
2Jv
где Wp = -Ц- - полярный момент сопротивления.
Таким образом, обведенные формулы позволяют решить две основные задачи
сопротивления материалов - определить напряжения и деформации вала при
кручении.
Произведем расчет валов на прочность и жесткость при кручении. Используя
формулу для максимальных касательных напряжений, можем записать условие
прочности при кручении в следующем виде
Т =Mj3L<[T\ max w L J
Из этого неравенства определяется полярный момент сопротивления
Ъу > МКР
' - и
Для вала круглого поперечного сечения
J =^1 w =^Il = ^L г 32 ' р d 16
Подставляя выражение Wp в условие прочности при
кручении и решая его относительно диаметра, получим следующую расчетную
формулу
d~i~w]г
Полученное по этой формуле расчетное значение диаметра округляется затем
до ближайшего большего стандартного значения. Если выбрать значение dCT
несколько меньше dPAC4, то необходимо выполнить проверочный расчет и
убедиться, что перегрузка меньше 5%, т.е. выполнить последовательно
следующий расчет
Т Мж ?=Гта* ~Н100%<5%
р 16 Wp [т]
Из характера распределения касательных напряжений, следует, что материал
вала вблизи оси используется нерационально. Поэтому более рационально с
точки зрения экономии металла и снижения веса конструкции выбирать вал
пустотелый, поперечное сечение которого имеет форму кольца (рис.13.4).
Рис.13.4
Обозначим d - внутренний диаметр кольца, D - наружный диаметр a = dl D -
отношение диаметров.
В этих обозначениях
ж
7ГГ)
32
2Jv
W = --р D
жР
16
32 (1-а4).
Из условия прочности при кручении определяется значение
D
?>>?!
16М
КР
ж[т\\-а4)
Как и прежде полученные расчетные значения D и d
округляются до ближайших значений выполняется проверочный расчет:
1СТ
И D,
ст ¦>
а затем
-dhY, W =
р 32 р D.
г =
М
КР
д =
-и
ст
и
Очень часто валы кроме условия удовлетворять также условию жесткости
100% <5%
прочности должны
Значение [в] зависит от условии обычно в градусах на погонный статической
нагрузке
[в] = 0,3° м-1 = 0,3° -%- = -10 -4 рад/см.
1 1 180 100 6
работы вала и задается метр длины вала. При принимают обычно
179
Проверка выполнения условия жесткости обычно включается в проверочный
расчет вала после подбора стандартных значений диаметров из условия
прочности. Если же условие жесткости при этом не выполняется, то диаметр
вала необходимо подбирать из условия жесткости:
Для сплошного вала
Для вала кольцевого сечения с заданным соотношением диаметров
Исследуем напряженное состояние элементов ABCD и A}B}C}D}, выделенных из
вала круглого поперечного сечения
перпендикулярными оси вала и его образующими, a AfixCxDx -повернут на 45°
по сравнению с ABCD. Как показано выше в сечениях вала действуют
касательные напряжения г, перпендикулярные радиусу, а также касательные
напряжения т в направлении образующих в соответствии с законом парности.
Нормальных напряжений на гранях элемента ABCD нет, этот элемент находится
в условиях чистого сдвига.
При рассмотрении чистого сдвига было показано, что если повернуть такой
элемент на 45°, то его грани станут главными площадками. Следовательно,
на гранях элемента AlBlClDl будут действовать главные напряжения <т, = г
и <т3 = -т.
Наглядной иллюстрацией такого распределения напряжений служат опыты по
разрушению при кручении образцов, изготовленных из различных материалов.
Дерево - материал неоднородный, имеет очень малую прочность на скалывание
вдоль волокон, поэтому при кручении разрушение начинается с образования
продольных трещин, вызванных действием касательных напряжении (вдоль
граней AD и ВС).
(рис.13.5). Элемент ABCD ограничен сечениями
180
Рис.13.5
Чугун по разному сопротивляется растяжению и сжатию, поэтому при кручении
образца из чугуна его разрушение происходит от действия главных
растягивающих напряжений ах, действующих под углом 45° к оси стержня.
Поверхность разрушения чугунного образца располагается примерно под углом
