Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
ж
Рис. 15.6
Система, которая подлежит расчету, обычно называется заданной. Определим
степень статической неопределимости ее: JI = 5*2 -4 = 2, т.е. заданная
система дважды статически неопределима (имеет 2 лишние связи).
Рассмотрим статически определимую систему, полученную из заданной
удалением лишних связей. Такая система называется основной. Удалим
опорные связи в точке А, в результате получим следующую основную систему
(рис15.7).
Основная система
JJA
Рис.15.7
Таким образом, основной системой называется система, полученная из
заданной удалением лишних связей. Она должна быть статически определимой
и геометрически неизменяемой.
Будем рассчитывать основную статически определимую систему. Загрузим ее
заданной нагрузкой и неизвестными реакциями лишних отброшенных связей,
т.е. лишними неизвестными х7 и х2.
216
Основная система, загруженная внешней нагрузкой и лишними неизвестными,
называетея эквивалентной системой (рис.15.8).
¦*
Эквивалентная
система
А
i
Х2
Рис.15.8
Эквивалентная система будет действительно эквивалентной заданной только
при тех значениях лишних неизвестных при которых горизонтальное Aj и
вертикальное Л2 перемещения точки А будут равны нулю т.е. когда Aj = 0 и
Д2 = 0 - условие совместности деформаций.
При вычислении перемещений, когда А,- = f(xb хъ Р) обычно используют
принцип независимости действия сил
А/ = Аг- (*i) + A i (*2) + (Р) = д a + дг-2 + Aip = О
где АЛ- перемещение в основной системе по направлению силы xt , вызванное
силой Р.
В упругих линейно-деформируемых системах перемещения Aik можно
представить в виде
^ik = ^ikXk ¦>
где bik - перемещение в основной системе по направлению силы xt ,
вызванное силой xk = 1.
Учитывая такое представление для перемещения Aik , условия совместности
деформаций можно записать в виде системы канонических уравнений метода
сил
8 п*1 + ^12*2 ^1 р ~ О
5 21*1 "*"^22*2 "*"^2р =0
Это каноническая форма условий совместности деформаций. Их обычно
называют системой канонических уравнений метода сил. Запишем для п раз
статически неопределимой системы систему канонических уравнений
SjjXj + 512д:2 +... + 81ил;п + А1р =0
217
Общие свойства канонических уравнений
1. Это система линейных алгебраических уравнений.
2. Уравнений столько, сколько раз статически неопределимая система.
3. В каждое уравнение входит не более, чем п неизвестных (где п -степень
статической неопределенности).
4. Коэффициенты уравнений не зависят от внешней нагрузки. Они полностью
определяются свойствами основной системы.
15.3 Определение коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений
Коэффициенты bik и свободные члены Aip канонических уравнений
являются перемещениями в основной статически определимой системе. Поэтому
для определения их можно воспользоваться методом Мора
Например, S12 и Aj
ч - перемещения в основной системе по направлению силы хх, вызванные
соответственно силой х2= 1 (рис.15.9а) и внешней нагрузкой (рис.15.9б).
Для определения их вспомогательное состояние системы будет одно и тоже
Оно показано на рис.15.9в
Коэффициенты, имеющие одинаковые индексы, называются коэффициентами
канонических уравнений.
- главные коэффициенты.
Очевидно, что главные коэффициенты всегда положительны. Они располагаются
на главной диагонали матрицы коэффициентов канонических уравнений. Если
индексы коэффициентов неодинаковы, то их называют побочными. На основании
теоремы о взаимности перемещений
5* =5й>
б)
в)
\
\
\ А
-П
2Р Х,=1
Рис.15.9
т.е. побочные коэффициенты расположены симметрично относительно главной
диагонали и равны между собой.
В балках и рамах для определения коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений удобно пользоваться способом Верещагина, т.е.
К =MiMv
Например, определим коэффициенты и свободные члены канонических уравнений
для рассматриваемого примера. Построим эпюры изгибающих моментов в
основной системе от действия единичных лишних неизвестных и внешней
нагрузки.
Теперь, коэффициенты 5 ik и свободные члены Aip канонических
уравнений можно легко определить, перемножая эпюры Мг и Мр
между собой по Верещагину (рис. 15.10)
Ъп=МхМх =
1 2
-аа-а + ааа 2 3
\
1 4 а1
EJ
812 =521 =М1М2 - -аа-а-^-
2 EJ
8" = М7М7 =-аа-а-^- = -22 2 2 2 3 EJ
3 EJ 1 аъ
К =м,мр =
^ з да
V
6 4
3 qa а + --аа
2EJ
\а^_
3EJ'
1 5 да3
/
1
А2п - М2М --^--а-а - 2р 2 р 2 2 EJ
EJ 8 EJ 1 qa3
После определения коэффициентов и свободных членов из решения системы
канонических уравнений находятся значения лишних
219
неизвестных. Для рассматриваемого примера имеем следующую систему
канонических уравнений.
Решая эту систему уравнений методом исключений или
подстановок, получим
3 3
jCj =-qa, х2 = qa.
7 28
Знак минус в выражении для хх показывает, что силах,
направлена противоположно первоначально принятому направлению.
15.4. Построение суммарных эпюр внутренних усилий
Для построения суммарных эпюр внутренних усилий можно воспользоваться
эквивалентной системой (рис.15.11). Так как эквивалентная система
