Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
КуУ
площади поперечного сечения F, получим
dWQ =-QkK3^,
Q 2Vk GF >
где К = f - коэффициент, зависящий от формы
J f b (у)
поперечного сечения.
Путем интегрирования его можно легко вычислить для любого поперечного
сечения. Например, для прямоугольного сечения К = 1.2, для круглого -
10/9. Для других типов сечений значения К приводится в справочниках.
Из выражения для dWQ следует, что
A dS(Qk) = K
QkdS
GF
Наконец, подставляя выражения для перемещений в направлении действия N, М
и Q в формулу для dW, интегрируя и суммируя по всем участкам, получим
формулу для определения действительной работы внутренних сил
198
При разгрузке упругой системы деформации изменяют знаки на обратные, а
внутренние силы сохраняют свое направление. Поэтому работа их будет
положительной. Если пренебречь рассеиванием энергии, то эту работу можно
рассматривать, как проявление потенциальной энергии, накопленной системой
при разгружении, т.е. U = - W. Следовательно, потенциальная энергия
деформации упругой стержневой системы определяется формулой:
и=Т.\
i=1 о
Ъ\N2kdS
2 EF
+2Л
/=1 о
MldS Лг " QjdS
i=1 о
'lEJ ;=1 n 2 GF
В сечениях элементов пространственных стержневых систем действуют шесть
усилий: N, Qy> My, Mz и Mkp. Поэтому для таких систем в формулах для W и
U необходимо добавить еще три слагаемых, зависящих от Му и Мкр.
14.3 Возможная работа внешних и внутренних сил.
Общая формула Мора для определения перемещений
Работа силы называемая возможной (виртуальной), если она выполняет ее на
перемещении, вызванном другой силой, группой сил или каким-либо другим
фактором (изменением температуры, смещением связей и т.д.). Эти
перемещения тоже называются возможными. Так как внешние и внутренние силы
всегда остаются постоянными в процессе изменения возможных перемещении,
то возможная работа их будет равна не половине, а полному произведению
силы на перемещение.
Рассмотрим какую-либо упругую линейно деформируемую стержневую систему,
загруженную двумя группами сил (рис.14.6):
1-я группа сил "Ксостоит из одной обобщенной силы Рк = const,;
2-я группа сил "F' состоит из любого количества сосредоточенных сил Р,
моментов М и распределенных нагрузок q.
II группа сил
199
Предположим, что к системе сначала была приложена 1-я группа сил "К", а
затем - вторая группа сил "Р". Очевидно, при этом перемещения, вызванные
2-й группой сил "Р" будут возможными для 1-й группы сил "К".
Вычислим возможную работу 1-й группы сил "К" на перемещениях, вызванных
2-й группой сил "Р".
Возможная работа внешних сил будет равна
А = РкА"
Возможная работа внутренних сил, т.е. усилий N" МК и QK, действующих на
элемент dS, очевидно, может быть выражена формулой
dW = -NkAdS(Np ) - MkAdS(Mp ) - QkAdS(Qp )
NdS MdS QdS
где A dS(Np) = ^-, A dS(Mp) = -?-, AdS(Qp) = K^- -
hr hj Ur
перемещения, вызванные 2-й группой сил "Р", соответственно в направлении
действияN, Ми Q.
Подставляя эти перемещения в выражение для dW, интегрируя и суммируя по
всем участкам, получим формулу для определения возможной работы
внутренних сил___________
W = -
п h
я
i=1 о
NkNpdS
EF
п h i=1 о
MkMpdS
EJ
+ tfKaQ°dS
i=1 о
GF
Далее заметим, что 1-я группа сил "К" находится в равновесии. Поэтому к
ней применим принцип возможных перемещений (Лагранжа): если система сил
находится в равновесии, то работа их на возможных бесконечно малых
перемещениях равна нулю, т.е. А +W = 0 или
- уравнение возможных работ
А = -W
Уравнение возможных работ часто называют основным уравнением строительной
механики. Запишем уравнение возможных работ для частного случая, когда Р
= 1. Усилия, вызываемые действием единичной обобщающей силы, обозначим
через N" MKnQK. Тогда получим
____________________i=1 О
NkNpdS
EF
i=1 0
M,MdS
EJ
¦ +
n i
Як
i=1 0
Qk QPds
GF
- общая формула Мора для определения перемещений.
Так как от умножения любого числа на единицу результат не изменяется, то
уравнение возможных работ можно рассматривать как формулу для определения
перемещений. Ее впервые получил немецкий ученый Отто Мор. Поэтому она
называется общей
200
формулой Мора для определения перемещений, а сам метод определения
перемещений по этой формуле - методом Мора.
В формуле Мора: - действительное перемещение,
соответствующее единичной обобщенной силе от действия заданной нагрузки;
Nk, Мк, Qk, Np, Мр и Qp - функция усилий от
действия соответственно единичной обобщенной силы и внешней нагрузки.
В заключение приведем порядок определения перемещений по методу Мора:
1. Снять внешнюю нагрузку и приложить в направлении искомого перемещения
соответствующую единичную обобщенную силу.
2. Для обеих схем загружения системы (заданной нагрузкой и единичной
обобщенной силой) выделить общие участки интегрирования, определить
опорные реакции, если это необходимо, и составить на каждом участке
функции Nk> Мк, Qk, Np, Мр и Qp и их произведения NkNp, МкМр и QkQp.
3. Подставить функции NkN , МкМр и QkQp в формулу Мора и выполнить
