Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
Если на брус действуют две равные и противоположно направленные силы,
перпендикулярные оси стержня и расположенные на очень малом расстоянии
друг от друга, то происходит срез.
Деформация, предшествующая срезу, заключается в перекашивании прямых
углов и называется сдвигом (рис.12.1).
а
h
а
h
dx
AS
Рис.12.1
В результате сдвига одно поперечное сечение сдвигается относительно
другого на величину AS, которая называется абсолютной величиной сдвига.
Она имеет размерность длины.
156
Отношение абсолютной величины сдвига к расстоянию между силами называется
относительной деформацией сдвига или углом сдвига.
AS
~T = tgY-h
Так как при малых деформациях tgy "у , то
(12.1)
относительный сдвиг или угол сдвига. Угол сдвига показывает искажение
прямых углов (прямоугольник abed превращается в параллелограмм abe'd'). у
выражается в радианах.
12.2 Напряжения при сдвиге. Закон Гука
Для определения напряжений при сдвиге применим метод сечений. В сечении
между силами действует только поперечная сила Q, являющаяся
равнодействующей касательных напряжений (рис. 12.2). Так как расстояние
между силами h очень мало, то действием изгибающего момента в сечении
можно пренебречь.
Воспользуемся интегральной зависимостью
в = JtdF
F
Закон распределения касательных напряжений неизвестен. Если предположить,
что они распределяются по сечению равномерно, то т можно вынести за знак
интеграла:
Q=x\dF
следовательно,
(12.2)
157
На самом деле касательные напряжения при сдвиге распределяются по сечению
неравномерно, но для практических расчетов можно пользоваться формулой
(12.2).
Касательные напряжения в пределах упругих деформаций прямо
пропорциональны относительной деформации сдвига, т.е.
(12.3)
Эта зависимость выражает собой закон Гука при сдвиге.
Величина G характеризует способность материала сопротивляться сдвигу и
называется модулем упругости второго рода или модулем сдвига. G имеет
размерность напряжения, т.е. МПа. Величина модуля упругости второго рода
определяется экспериментально и для каждого материала имеет свое
значение.
Типичный вид диаграммы т -у деформации сдвига для пластичной стали
показан на рис. 12.3. Она напоминает аналогичную диаграмму ст -е при
растяжении. Напряжение о пц
(предел пропорциональности при сдвиге) является границей справедливости
закона Гука.
> у
Рис. 12.3
т = Gy
Зная, что
О AS
т = - и у =
F ' h можно найти абсолютную величину сдвига
Q
= G
AS
h
откуда
AS =
Qh
GF
(12.4)
Величина абсолютного сдвига прямо пропорциональна сдвигающим силам и
расстоянию между ними и обратно пропорциональна жесткости поперечного
сечения при сдвиге. GF -жесткость поперечного сечения при сдвиге.
158
Формула (4) аналогична зависимости для определения абсолютной деформации
при растяжении:
Здесь Е - модуль упругости первого рода.
Установим зависимость между G и Е. Для этого на участке балки между
силами выделим элемент и рассмотрим его деформацию (рис. 12.4).
На боковых вертикальных и горизонтальных гранях элемента действуют
касательные напряжения. На гранях, параллельных плоскости чертежа,
никаких напряжений нет.
Деформация, при которой на гранях элемента возникают только касательные
напряжения, называются чистым сдвигом.
При чистом сдвиге материал находится в плоском напряженном состоянии. При
этом
Определим главные напряжения при чистом сдвиге и положения главных
площадок.
Рис. 12.4
(12.5)
Величины главных з ависимостями:
напряжений определяются
(12.6)
Учитывая зависимости (12.5) получаем:
159
(12.7)
Положение главных площадок определяется углом а .
т
tga
CTi-a,
т
Следовательно, при чистом сдвиге главные наклонены к граням элемента под
углом 45° (рис.12.5).
площадки
Рис.12.5
Графическое определение направления главных напряжений может быть
получено и с помощью круга Мора.
Как видно из рис.12.5, прямые углы элемента искажаются, изменяются длины
диагоналей.
Найдем удлинение диагонали квадратного элемента (рис.12.6).
С одной стороны его можно объяснить деформацией сдвига. С другой стороны
диагональ BD можно представить как волокно материала, растягиваемое
напряжением а, и сжимаемое в
160
Рис.12.6
поперечном направлении напряжением а3. Сказанное позволяет сделать вывод
о том, что модули G и Е не являются независимыми друг от друга.
Удлинение диагонали
дс
А/ = DD, cos 45° =
V2
Относительное удлинение диагонали
_ А/ _ AS _ AS _ у
8_ / ~ 4lh4l~ 2 h ~2
По закону Гука для чистого сдвига у = -, поэтому
G
е = - (12.8)
2G v '
Теперь воспользуемся обобщенным законом Гука. Главное напряжение а!
действует в направлении диагонали BD, т.е. полученное значение е есть ни
что иное, как удлинение
е1=-^к-ц(ст2+<*з)]
Е
С учетом зависимостей (12.7) получим:
е!=^(т-рт) = Ц^т (12.9)
Е Е
161
Приравняв правые части уравнений (12.8) и (12.9) имеем
X 1+ ц
- = --X
2 G Е
или
G =
Е
t \ (12Л0)
2(1 + ц)
Формула (12.10) устанавливает зависимость между тремя постоянными
материала, характеризующими его упругие свойства -модулями упругости
