Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя
і №2 =-^fc22, (1.16.19)
получим коэффициент преломления, зависящий от частоты,
27 2 2 2 ,/"TStSP"
сЧс2 = (о2 — (O02, где (O0=: J/ ——.
Картина напряжений как источника гравитационных волн позволяет понять превращение электромагнитной волны в гравитационную при прохождении первой через постоянное магнитное поле [Герценштейн, Пустовойт (1962)]. В плоской электромагнитной волне, распространяющейся по оси х, очевидно, T22 == Tt33 в силу симметрии свойств электрического E и магнитного H поля в вакууме. Однако если волна поляризована так, что if направлено по Z в области, где имеется постоянное поле H0, также направленное по Z1 то возникают дополнительно компоненты тензора энергии — импульса
T33 =--S*n Qzx — ^22 = sin (kx — (ut).
Эти поля являются источником (притом строго когерентным) для гравитационной волны той же частоты и того же направления Уравнение (1.16.15) с такой правой частью дает решение, в котором амплитуда гравитационной волны будет растя линейно, пропор- § 16І ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛЙЬІ 83
ционально пути X, пройденному электромагнитной волной от того места, где она вступила в область, занятую магнитным полем. Энергия гравитационной волны пропорциональна Z2. Однако надо учесть, что излучение происходит не точно в направлении электромагнитной волны, а в дифракционном конусе с углом а — j/ ,
так что телесный угол — порядка . Окончательно перекачка
энергии из электромагнитных волн в гравитационные оказывается пропорциональна X (поскольку не учитывается ослабление электромагнитной волны). Дадим выражение для длины, на которой электромагнитная волна половину энерии перекачает в гравитационную:
L
XGH2
(см. Герценштейн и Пустовойт(1962)). Длина эта гигантски велика, значительно больше той (также большой1) длины, на которой в тех же условиях происходит дробление фотонов за счет нелинейности квантовой электродинамики [Адлер и др. (1970)]. Наконец, остановимся на физическом смысле удивительного на первый взгляд факта, что инварианты тензора кривизны RikIm плоской гравитационной волны тождественно равны нулю. В этом отношении гравитационная волна подобна электромагнитной, в которой есть элек-рическое поле E и магнитное H, но оба инварианта равны нулю: H2 — E2 = 0 и (E-H) = 0
Рассмотрим сначала электромагнитную волну. Представим себе наблюдателя, движущегося со скоростью v в направлении волны. Чем ближе скорость V к скорости света с, тем меньше (в системе наблюдателя) частота волны со, больше длина волны и меньше E и Н. В пределе при V—>с имеем E#->0.
В свете сказанного возникают следующие вопросы. Можно ли инвариантно характеризовать плоскую электромагнитную волну, можно ли указать различие между двумя волнами, которое было бы признано любым наблюдателем?
При переходе от одной системы координат к другой поля меняются пропорционально частоте, поэтому отношение напряженности поля к частоте или произведение напряженности поля на длину волны является инвариантным. Вместе с тем этот инвариант нелокален: чтобы определить его, недостаточно измерения E ж H в одной точке пространства — времени, нужна серия измерений в разных точках, чтобы наряду с E21 H2 найти также длину волны. Между тем H2-E2 и (EH) — это локальные инварианты.
Таким образом, только наличие нелокального инварианта делает возможным инвариантно отличать одни волны от других. (56
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. 1
Рассмотрим волновой пакет: плотность энергии є пропорциональна (E2 + Я2) ~ Ar2, объем пакета преобразуется так же, как длина волны, поэтому полная энергия пакета ~Аг2со, т. е. пропорциональна частоте. Но это значит, что инвариантом является отношение энергии пакета к частоте, т. е. величина, пропорциональная числу фотонов в пакете. Очевидно, что квантовые свойства света и постоянная Планка не играют здесь роли, отношение энергии к частоте выступает здесь как «классическая» величина — нелокальный инвариант классической теории. Конкретно [Зельдович (1965)] инвариант имеет вид
jjjj H(r)H{r')+E(r)E{r') d3rdY
«Классичность» инварианта не исключает того, что классическая теория в начале века была «беременна» квантовой теорией, размерность инвариантов классической теории подсказывала размерность той константы, которой суждено было изменить и ограничить классическую теорию.
Ситуация с нелокальным инвариантом для гравитационных волн полностью аналогична. Локально наблюдаемой величиной является fe22, и этой величине пропорциональны компоненты JtZ0202 тензора кривизны. Однако эта величина не лоренц-не инвариантна; выбирая систему координат с v-+c, можно добиться, чтобы A22-^O и все Rikim-*0 в полном соответствии с тем, что локальные инварианты (в частности, С = RmmRmm) равны нулю. Однако можно построить нелокальный инвариант, имеющий смысл величины, пропорциональной числу гравитонов (в явном виде в литературе он не выписан).
Такая величина позволяет сравнивать волновые пакеты, устраняет трудности, связанные с тем, что локальные инварианты равны нулю. ГЛАВА 2
НЕИЗБЕЖНОСТЬ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ОТО) И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
