Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо того, чтобы складывать нестационарные решения для потенциалов Ф, вызванных частицами, движущимися с различными скоростями в сосуде, мы будем складывать источники с разными скоростями. Поле, обусловленное суммарным источником, очевидно, будет стационарно, так как задача стационарна.
Для данной группы частиц (с идентичными скоростями) значение р инвариантно, но объем, в котором содержатся частицы, в лабораторной системе отсчета меньше, чем в системе покоя. Обозначая штрихом величины, относящиеся к лабораторной системе отсчета, имеем
^ p'dV' = ^ р dV' = (1 - ?2)Vi ^ P dV = N (1 - ?2)1/2.
Пусть несколько групп частиц (plt р2, . . .) внутри сосуда движутся с одинаковой скоростью V = ?c в различных направлениях. В результате столкновений со стенками сосуда направление скорости каждой части время от времени изменяется, т. е. частицы переходят из одной группы в другую, так что 92
НЕИЗБЕЖНОСТЬ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 2
среднее число частиц в каждой группе сохраняется. Для совокупности всех частиц
^ р'Г = ^ р[dV* + ^ P'2dV' +...= Ni (1 - ?2)1'2 + N2 (l-?2)1/2 +...== N( 1 - ?2)1/'.
Заметим, что хотя частицы движутся, их распределение в среднем остается постоянным. Поэтому, зная источник ^J pdV^ в лабораторной системе отсчета, мы можем теперь написать стационарное решение для нашего источника:
Ф'(Г) =-T-Jp^(I-Wv'
в лабораторной системе отсчета. Этот результат отличается от результата для покоящихся частиц коэффициентом (1 — ?2)^2, как и утверждалось в основном тексте.
Поучительно рассмотреть альтернативный источник скалярного поляф: систему не заключенных в сосуд частиц, которые движутся радиально с одинаковой скоростью и = ?c и все проходят через начало координат в момент t = 0. Эта задача нестационарна. Обозначим через г0 (t) расстояние частиц от начала координат в момент времени t. Тогда г0 = — с ?* для t < 0 и г0 = + ф для t > 0.
Во все времена t ф 0 решение для ф имеет вид
ф = Ыг для г > г0, ф = (b/r0) г/г0 ДЛЯ г < г0.
Поскольку г0 зависит от времени, потенциал внутри оболочки частиц также зависит от времени.
д2ф
Если мы перепишем уравнение Пф = ар в форме \72Ф = — ар + 'ЩГ '
а2ф
то станет ясным, что член -^g- в нестационарном решении играет роль, аналогичную источнику в стационарном решении. Внутри нашей оболочки из час-д2Ф
тиц -Tjjfi- ф 0; следовательно, внешнее пол е имеет источник не только на самой
оболочке, но и внутри ее. В результате постоянная 6, которая характеризует силу внешнего поля (ф = Ь/г), неравнаі^а (1 — ?2)1/?. Тот факт, что при г > г0 решение ф = b/r не зависит от времени, не должен обманывать нас; решение в целом нестационарно.
Внешний потенциал ф (г) для стационарной системы частиц, которые всег-
aN и
да находятся внутри сосуда, ф = —— (1 — ?2)/a отличен от потенциала,создаваемого нестационарной системой частиц, которые в данный момент находятся внутри сосуда (г0 мало), но первоначально были произвольно далеки от него. Это не должно удивлять, так как в уравнении для ф есть запаздывание — решение зависит не от мгновенного распределения источника, а от запаздывающего t' = t — г/с распределения. Именно это обстоятельство дает возможность нестационарным сферическим источникам испускать сферические скалярные волны. Мы пользуемся возможностью поблагодорить К. С. Торна, который заметил, что нестационарное сферическое решение не может дать ответа на доставленный в основном тексте вопрос о зависимости потенциала Ф от скорости.
Интересующий нас случай: источник, состоящий из движущихся частиц, но которые составляют в целом стационарный, создающий стационарное доле, т. е. частицы в сосуде, см. в § 7. § 4] НЕИЗБЕЖНОСТЬ ИДЕИ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВА — ВРЕМЕНИ 93
Когда полеф'есть временная компонента вектора, решение также известно; это как раз электромагнитный случай. Мы не будем его детально анализировать, а сделаем лишь следующие замечания. Преобразуя систему зарядов из покоящейся в движущуюся систему отсчета, мы в общем случае получаем, что векторное поле приобретает ненулевые пространственные компоненты A11 A21 A31 которые отвечают магнитному полю. Однако в сферически-симмет-ричном случае нет магнитного поля, даже если отдельные заряды движутся. Более того, внешнее электрическое поле одинаково для системы движущихся зарядов, заключенных в сферический сосуд (стационарная задача) и для оболочки из зарядов, движущихся радиально (нестационарная задача). Однако векторный потенциал, являющийся суммой потенциалов отдельных частиц, различен в этих двух случаях. Для нестационарной задачи полный векторный потенциал им~— ненулевую радиальную компоненту Аг, которая вносит
дф дАг
вклад в радиальное электрическое поле: E — Qt * Хотя Аг зависит от
скоростей зарядов, E не зависит от скорости. Следовательно, изменяя калибровку
df
eN
мы можем аннулировать Ari получая в результате ф =—— вне источника.
eN
Эти калибровочно преобразованные потенциалы A= 0 и ф = —— для нестационарной задачи идентичны потенциалам стационарной задачи, что и было отмечено в тексте.
