Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
отличие А от Р0 пропорционально t и т не зависит от искусственно
введенного интервала наблюдения t.
Хорошо известно, что величина цикла Пуанкаре огромна для систем из
большого числа частиц и несравненно велика даже по отношению к возрасту
Вселенной. Однако стохастическое поведение может возникать и в системе из
нескольких степеней свободы (даже двух), и тогда время возврата доступно
для наблюдения.
Приведем простой пример, иллюстрирующий действие формулы (1.6).
Предположим для простоты, что величину Pt можно дифференцировать по t.
Тогда для малых t справедлива запись Рх * Р9 + P,t п время цикла Пуанкаре
равно
На рпс. 1.1 изображены два разных случая эволюции множества А. Очевидно,
что в случае (а) точки множества могут собраться в А нампого быстрее, чем
в случае (б). Это означает, что величины Р0, Pi в неустойчивом случае
малы по сравнению с устойчивым случаем движения. Отсюда время цикла
Пуанкаре
Рис. 1.1. Изменение элемента фазового объема в устойчивом (а) и
неустойчивом (б) случаях.
тем больше, чем сильнее неустойчивость системы в фазовом пространстве.
Вернемся снова к способу описания эволюции системы со временем. На
примере теоремы Пуанкаре мы видели, что в фаговом пространстве бывает
удобно рассматривать движение не отдельной точки, а некоторого множества.
Физики обычна
(1.5)
T = f(l-P")/(i>0-A),
(1.6)
Т = (1 -P0)/Pi.
11
пользуются функцией распределения частиц в фазовой пространстве /(g, р,
t), удовлетворяющей условию нормировки
f/(9,jM)dr-1. dT = {dqdp). г
Дифференциальной формой закона сохранения числа частиц является уравнение
непрерывности в фазовом пространстве:
К+ div(//) = 0,
плп, с учетом условия (4),
&+*?, +г %-о- <'-7>
Уравнение (1.7) называется уравнением Лиувилля. В нем подразумевается,
что компоненты тока J(q, р) выражены как функции д, р (н, может быть, t).
Следующее замечание существенно: уравнение (1.7) не содержит никакой иной
информации, кроме той, которая следует из уравнений движения (1.1). Это
вытекает сразу из свойств уравнений в частных производных первого
порядка. Решение (1.7) может быть записано в виде
/(д, р, г) = /о(д0 = д0(д, р, t), ре = р0(д, р, t)),
где связь между (д0, ре) и (д, р) определяется из (1.1), а /0 = = /o(go,
ро) = /" = 0) - начальное условие. В частности, для одной частицы имеем
/(g, р, *) = 6(д -gU))6(p -p(f)), (1.8)
где g(f) и p(t) определяют траекторию частицы.
Уравнение Лиувилля (1.7) обратимо во времени так же, как и уравнения
движения (1.1).
§ 1.2. Переменные действие - угол
Какие переменные "удобны"? Адиабатическая инвариантность. Колебания
нелинейного маятника. Плазменные колебания. Спектральные свойства
нелинейных колебаний
Выбор переменных, в которых следует решать ту или иную задачу, обычно
связан с соображениями удобства, и вопрос о "лучших" переменных на первый
взгляд не имеет особого смысла. Одпако уже в работах Пуанкаре переменным
действие (/) - угол (ft) оказывается определенное предпочтение, особенно
при доказательстве общих положений механики. Эта тенденция к
использованию переменных (/, ft) в дальнейшем только усиливалась.
Приведем тривиальный пример, выделяющий переменные (/, ¦&). В замкнутой
гамильтоновой системе сохраняется энергия Н. Поскольку / = /(Я), то I -
также интеграл движения. При медленпых возмущениях системы существует
приближенный интеграл движения. Им оказывается действие /, которое сохра-
12
няется с экспоненциальной точностью [201. Можно сказать, что существенные
изменения в системе произойдут лишь при достаточно сильных изменениях I.
Введение канонически сопряженных переменных (/, О) осуществляется для
одной степени свободы с помощью соотношений [201
о = Щ/г1* S (g, I) = S (q, Н (/)) - J р (?, Н) dqt
(2.1)
где S(.q, I) - укороченное действие, являющееся для данного случая
производящей функцией. Уравнения движения для (/, Ф) имеют вид
/ = 0, о = ^^о)(7). (2.2)
Величина о" (Л является частотой нелинейных колебаний. Свойства величин
(/, О), вытекающие из (2.2), позволяют представить любое финитное (и,
следовательно, периодическое) движение гамильтоновой системы в виде 00
9= 2 a"(J)exp(mtf),
(2-3)
Р- 2 (/) exp (inb)t
Пв- 00
где коэффициенты разложения ап, Ьп удовлетворяют условию вещественности q
и р:
в-я в (r)nj О-я - Оп
и определяются конкретной задачей. Продемонстрируем использование
переменных (/, О) на двух характерных задачах.
Рассмотрим в качестве первого примера колебания нелинейного маятника:
а: + sin я = О (2.4)
с гамильтонианом
Я = ух2- cos х (2.5)
и частотой малых колебаний, равной 1. Особые точки семейства
траекторий на фазовой плоскости (ж, х) находятся путем при-
равнивания нулю правых частей уравнений движения (1.1):
х = 0, sin х = 0.
Это дает х0 = 0, х0 = пл (.п = 0, ±1, ...).
Простое исследование движения в окрестности (а:0, х0) показывает, что
точки хв => 2пл - эллиптические, а точки х0 =
13
= (2га + 1)я -гиперболические. Потенциал V - -соз х и траектория на
фазовой плоскости изображены на рис. 1.2.
