Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 6

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 102 >> Следующая

Иногда траектории с энергией Н< 1 называются "захваченными", а траектории
с Я> 1 - "пролетными". Энергии Яс = 1
Рис. 1.2. Периодический потенциал (а) и соответствующая ему фазовая
плоскость (б).
соответствует особая (самопересекающаяся) траектория, называемая
сепаратрисой*).
Решение уравнения (2.4) хорошо известно, и мы его приведем без вывода для
Я<1:
х = 2х cn (t; х),
/ = / (Я) = ^ [я (^; и) - (1 - х') F (4Ь х)], (2.6)
(л(Т) = Я х2 _ 1 +Н
2F (я/2; х) ' 2 *
где сп - эллиптический косинус, F и Е - эллиптические интегралы
соответственно 1-го и 2-го рода. Приведем также разложе-
ние скорости в ряд Фурье:
оо
• ЧГЧ дЯ-1/2
а; = 8ю 2d , 271-1 С08 К2га - !) (r)*1.
П=1 1 а
а = exp (- nF'/F), Fs=F (я/2; х), F'==F (я/2; УЧ - х2) ^
а асимптотики некоторых полезных величин при Я -> Нв -¦ 1 (т. е. х 1):
?*т1"г?я.
// 32 \ (^.8)
о>" я/Пп 1___jy I* й"ехр(- яю).
Качественный характер зависимости скорости х от времени изображен на рис.
1.3. Из общих соображений можно сказать, что на рисунке изображен
волновой пакет с эффективным чис-
*) На протяжении всего дальнейшего изложения мы будем свидетелями той
выделенной роли, которую играют сепаратрисы в проблемах устойчивости и
стохастичности.
14
лом гармоник N, равным отношению расстояния между горбами к их ширине, т.
е.
лт 1 1 1. 32
со (/) 2 1 - Н
(2.9)
Этот же результат следует непосредственно из (2.7) и (2.8). Разложение в
ряд Фурье (2.7) является иллюстрацией общих соотношений (2.3) и дает
возмож- ь ность определить коэффициенты ап, Ъп т. е. спектр системы.
В частности, из (2.8), (2.9) следует, что спектр экспоиен-
п/ш
!п/ш
О
Рис. 1.3. Зависимость скорости от Рис. 1.4. Спектр в окрестности сепа-
вреыени в окрестности сепаратрисы, ратрисы.
цнально обрезается при n>N (рис. 1.4). При Н -*¦ I период колебаний и
число гармоник N стремятся логарифмически к бесконечности.
Описанное свойство движения характерно вблизи сепаратрисы. Частота
нелинейных колебаний (c)(/) при изменении Н от
О до 1 меняется от 1 до 0. Наконец, при Н = 1 х = 1 и
x = 2/cnt. (2.10)
Выражение (2.10) описывает форму единичного горба на рис. 1.3 (когда все
остальные удалены на бесконечность) и носит название солитона*).
Мы достаточно полно описали характер колебаний при наличии сепаратрнсы.
Их нелинейность выражается в зависимости
о от энергии (или от /), а ангармоничность - в разложении (2.7). Это
типичный случай, с которым нам придется в дальнейшем работать.
Подчеркнем, что природа им не исчерпывается, и приведем особый пример, в
котором есть ангармонизм при отсутствии зависимости частоты от энергии.
Колебания электронной плазмы описываются гамильтонианом [21]
Н = 4- Ф2 - 2(c)о (2ф1/2 - ф),
(2.11)
где (c)о - плазменная частота, ф1/2 - l - v, a v - безразмерная скорость
электронов. Нетрудно убедиться в том, что решение
*) Читателю предлагается в виде упражнения рассмотреть решение уравпспий
(2.4) в области "пролетных" траекторий (Я ^ 1) и выяснить характер сшивки
решений при Н ^ 1 и И ^ 1.
15
уравнений движения, соответствующих (2.11), можно записать в виде
ijj = -cos [±(i>ot - е(1 - ¦ф*)*/*], где обозначено
Траектории на фазовой плоскости приведены на рис. 1.5. При Н = - 2cdq
траектория стягивается в точку. Значению Н - О
Рис. 1.5. Фаговая плоскость Рис. 1.6. Скорость частиц в окрестно-
плаэнеиных колебаний. сти сепаратрисы при плазменных
колебаниях.
соответствует сепаратриса, а финитное движение существует при*) 0> Н >-
2<а\. Зависимость v(t) изображена на рис. 1.6.
Теперь наша задача состоит в выяснении спектральных свойств q>(f).
Приведем результаты, полученные в [22]. Период колебаний вычисляется по
очевидной формуле
Т = ф dif/if = 2л/(о0,
т. е. частота колебаний (c) = 2п/Т = а>0 и не зависит от энергии.
Разложение в ряд Фурье:
Ф = 2 фп ехр(<п"0<)
П=-оо
имеет коэффициенты
_( 2(-1 )n-Vn:(en)/n2 (в Ф 0),
фп \1 + Зе2/2 (п = 0),
или, асимптотически при в > 1,
|п-7/3 (1<в< N),
Фп ^ I I
I п~ь> 2 exp (- n/N) (п > N),
где N= (1 - е)~3,г. Таким образом, плазменные колебания ан-
*) Читателю предлагается в виде упражнения построить траектории на
фазовой плоскости при Н > 0.
16
гармоничны. Их спектр так же, как и раньше, обрезается экспоненциально
при n>N. По мере приближения к сепаратрисе (е-*-1) число N-*¦ оо. На рис.
1.6 период колебаний не меняется при е 1, а горбы заостряются.
Ширина спектра является не только важной, но и удобной характеристикой
колебаний. В дальнейшем мы покажем, каким, образом она может быть
использована.
§ 1.3. Нелинейный резонанс
Резонанс при действии внешней силы. Резонанс связанных колебаний
Теория нелинейного резонанса играет важную роль в общем анализе
возникновения стохастичности в гамильтоновых системах. Обычно при
действии некоторого возмущения на систему мы отыскиваем новое решение,
пользуясь тем или иным приближенным методом. Действие этих методов можно
классифицировать, рассматривая различие между исходным поведением системы
п ее возмущенным поведением. Иллюстрация сравнений приведена на рис. 1.7:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed