Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Чириковым. Они определили дальнейший интерес автора к этой проблеме.
Практически все первые результаты подробно обсуждались с М. А.
Леонтовичем и на руководимом им семинаре в Институте атомной энергии им.
И. В. Курчатова. Эти беседы существенным образом повлияли па многие
последующие работы автора. Я постоянно пользовался возможностью
обсуждения интересующих меня вопросов с В. И. Арнольдом, И. М. Лифшицом и
Я. Г. Синаем. Часть результатов, касающаяся исследования стохастичности в
квантовых системах, была получена совместно с Г. П. Берманом (гл. 9-11).
Моими соавторами были также П. И. Белобров, А. М. Иомин, А. Р. Коловский,
Х.-Р. Я. Рачко, В. Н. Сынах, Г. X. Тартаковский и Н. Н. Фи-лоненко.
Замечания Я. Г. Синая помогли устранить ряд неточностей. Значительная
помощь в подготовке рукописи к печати была оказана мне В. А. Зыковой.
Всем им я хочу выразить искреннюю признательность за неоценимую помощь.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ И ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Новое понимание явлений статистической механики возникло в результате
достижений последних лет в области теории динамических систем. Их
нелинейные свойства играют существенную роль в характере физических
процессов. Поэтому связь между нелинейной динамикой и современной
эргодической теорией оказалась значительно более сильной, чем это
предполагалось ранее. Сейчас уже невозможно рассматривать вопросы,
связанные с появлением стохастического движения, не затрагивая ряда новых
фундаментальных результатов в области классической динамики. Современные
монографии [16, 17, 33] включают эти результаты. В настоящей главе будут
рассмотрены некоторые общие вопросы теории динамических систем, которые
необходимы для понимания дальнейшего изложения.
§ 1.1. Движение в фазовом пространстве
Теорема Лнувилля. Теорема Пуанкаре о возвратах. Время возврата. Формула
Каца. Уравнение Лнувилля
Состояние частицы (или системы) принято обозначать точкой в фазовом
пространстве (q, р). Система, для которой векторы q и р TV-мерны, имеет N
степеней свободы. Ее фазовое пространство 27У-мерно. Эволюция состояния
гамильтоновых систем со временем определяется с помощью функции
Гамильтона #*= = Hiq, р). Величины q и р удовлетворяют уравнениям
движения
дН • дН
? = P = -!f <U>
Можно определить оператор сдвига во времени Tit) на величину t:
iqit), pit)) = TWiqiO), pi0)). (1.2)
Оператор Tit) определяется уравнениями (1.1) и называется фазовым потоком
[161.
Теорема Лыувилля выражает сохранение произвольного фазового объема Г под
действием оператора T(t), т. е.
ГШ = ГШГЧО) = Г(0). (1.3)
Введем обобщенный вектор тока в фазовом пространстве J = = (<7, р). Из
(1.1) следует, что
"• i1-4"
т. е. "фазовая жидкость" несжимаема. Свойства (1.3) п (1.4) эквивалентны
[161.
Из теоремы Лиувилля следует теорема Пуанкаре о возврате, состоящая в
следующем. Пусть консервативная система (Я не зависит явно от времени)
совершает финитное (т. е. в ограниченной области фазового пространства)
движение. Рассмотрим некоторую область А фазового пространства и выберем
в нем точку So = (g0, Ро) как начальную точку траектории системы. Тогда
по истечении некоторого времени система вернется в область А. Исключением
может являться множество нулевой меры точек из А, рассматриваемых как
начальные.
Обозначим через В множество всех точек из А, которые никогда не
возвращаются в А. Пусть через некоторое достаточно большое время tt
множество точек В переходит в В j, т. е.
Согласно определению В пересечение Bt и А равно нулю. Через интервал t2 =
2f, имеем
?(2*,)Д-Г(*,)Д|-Д".
Пересечение В2 и Bt также равно нулю. Если бы это было не так, то
существовали бы точки, которые не выходят из Bt. Из обратимости уравнений
движения (1.1) следует, что эти точки не могли бы и войти в В,. Это
противоречит их прошлому (при f = 0 они принадлежали А). Продолжая
применять последовательно оператор T(ntt) к В, получим бесконечную
последовательность Ви В2, ..непересекающихся образов множества В.
Согласно теореме Лиувплля
Г(Я) = Г(В,) = Г(Я2) = ...,
т. е. в процессе движения точки из В покрывают фазовый объем Г (Б) • С
другой стороны, из финитности движения следует, что эта область должна
быть конечной. Последнее возможно лишь в случае Т(В) = 0, что и
доказывает теорему (ком.1)*).
Из теоремы Пуанкаре следует, что система будет бесконечное число раз
возвращаться в область А (ком. 2). Можно ввести понятие среднего времени
возврата, или времени цикла Пуанкаре.
*) Всюду далее так обозначаются ссылки на комментарии к соответствующей
главе.
10
Смолуховский предложил следующую формулу для этого времени:
где Рк - вероятность возврата системы в исходную область А за время kt.
Очевидно, что величина Рй есть просто вероятность нахождения системы в
области А. Вычисления, проделанные Кацем [9] для выражения (1.5) в случае
эргодического движения системы, приводят к следующему выражению:
где Pi - вероятность возврата за время t. Очевидно, что при t -*¦ 0
