Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
скоростью с: t - t, у - х - ct, что приведет к уравнению
du/dt + д(Ни)/ду = %(у + ct)u, (45.5)
где и - и(у, t) и введен оператор
Н = cahzd2/dy2 + vSy) - с + с0. (45.6)
Формальное решение (45.5) представим в виде t
u{y,t) = j dtexp{- (t - х)дН (у)/ду}1(у +
- оо
оо
+ сх) <V (у, f)> = I dr ехр {- тдН (у)/ду\? [у +
О
+ c(t - r)](v(y,t)y. (45.7)
Далее учтем, что в силу второго неравенства в (45.2) флуктуации являются
мелкомасштабными по сравнению с изменением <у> и действием оператора под
знаком экспоненты на <у> можно пренебречь с точностью до членов более
высокого порядка малости по ?. По той же причине можно в первом
приближении пренебречь некоммутируемостью операторов д/ду и Н(у),
входящих в показатель экспоненты и действующих на ?.,
Рассмотрим задачу на собственные значения оператора Н, определенного в
(45.6) HW = EW, и разложим флуктуацию |(ж) по полному набору собственных
функций ЧГ(Е; х) оператора Н:
%(х) = 21С(Е)У(Е-,х), (45.8)
Е
159
где знак 2 означает суммирование по дискретной
Е
части спектра и интегрирование по непрерывной части. Подставляя (45.8) в
(45.7) и учитывая сделанные выше приближения, получаем
ОО
U (у, t) = 2 С (Е) [ dx ехр {- хдН (у)1ду) .W[E;y + '
Е Й
ОО
+ с (t - т)] • (V (у, т)> = 2 С (Е) i dx ехр {- хЕд/ду) х
X ? [Е; г/ + с (? - т)] {v (у, t)} = ^C (Е) [Е; у -
Е о
- т (Е + с) + ct](v (у, ?)>.
Отсюда
оо
U(x, *) = 2с (Е) Гйт? [Е; х - т (Е + с)] (v (х, ?)>.
Е о
(45.9)
С помощью выражения (45.9) теперь можно вычислить правую часть (45.3).
Заметим, что в отсутствие нелинейности и дисперсии Н - (с - с0)д/дх, и мы
приходим к случаю, рассмотренному Хоувом [3]. В данном случае зависимость
от <у> поправок и(х, t) к усредненной огибающей волны <v(x, t)>
определяется зависимостью от <у> собственных значений Е и собственных
функций гР(?'; х) стационарного уравнения Шредингера с потенциалом v" -
iv}.
Для первого члена в правой части уравнения (45.3^ имеем
h = <1 (*> t) и (.х, ty = <v (х, ф X
X
<оо <
Ъ(х, t)'^C(E)^dx4r[E-,x-x(c + E)]
Е о
ОО
= <v (х, t)> j* dr 2 j* dzR (x - z) ?* (E; z) x
о E
X ?[?;x- t(c + ?)], (45.10)
где использована ортогональность собственных функ-
160
ций Чг(?'; х) для получения из (45.8) коэффициентов С(Е). После замены
переменных в (45.10) имеем
оо
Ij = (v (х, ?)> f dr f dzR (x - z) 2 (с + E)_1 (E; z) X
о E'
CO
X Y (E; x - r) = - (a:, ?)> j dr J dzR (x - z) X
о
X G (- c; z, x - /¦), (45.11)
где G(?'; ж2) - функция Грина оператора Н. Фор-
мула (45.11) выражает конечный результат для первого члена в правой части
уравнения (45.3), причем зависимость от <и> входит также в G, так как в
рассматриваемом приближении va - ivy.
Перейдем теперь к вычислению выражения
ОО оо
'2iC{E1)yjC(E2)\dx1ldxi X Е! Е2 о о
X ? [Е^, х - х (с + Ег)\ ? [Е2, х-т 2 (с + j?2)]
Так же, как и при выводе (45.10), (45.11), выражаем С(Е) из (45.8) и
делаем замену переменных при интегрировании ПО Ti, т2
оо оо
h = "у"2 j dri I dr2 j dxx j dx2R(x1 - x2) X 0 0
x 2 (с + ^r1 (?,; *,) Y [?,; (x - г,)] X
Ei
x S (c + я*)-1 (я*; *a) ^ (^2; x-r2) =
E2
OO CO
= "у"2 j drj j dr2 j da^ j d.z2-R (^ - x2) x 0 0
X G[- c; xlt (x - rx)]-G[- с; ж2, (я - r2)). (45.12)
Выражение (45.12) является окончательным и представляет собой поправку к
нелинейному члену за счет случайных флуктуаций среды. В этом легко
убедиться, если рассмотреть случай слабой нелинейности. Тогда
/2 = <и2} = ({v(x, ?)"2
161
выражение (45.12) перепишется как /2 = const (<у>)2. Аналогично при
слабой нелинейности Д = const <у> > О, т. е. выражение (45.11) описывает
эффективное увеличение амплитуды волны, аналогичное увеличению скорости
броуновской частицы.
В общем случае уравнение (45.3) для усредненной части волны приобретает
вид
<у>, + c0<v>x - /, + (1/2)["у>)2 + /2]х + <у>етх = 0. (45.13)
Перейдем к оценке структуры диссипативной и нелинейной поправок /1, /2.
Как уже отмечалось, согласно второму неравенству в (45.2), флуктуации
среды %(х) являются мелкомасштабными по сравнению с <у>. Поэтому в
разложении (45.8) должны присутствовать в основном собственные функции
Чг(?'; х) с такими значениями Е, при которых они быстро осциллируют, т.
е.
d(ln y?)/dx > cKln iv))/dx. (45.14)
Так как <у> есть потенциал в уравнении НУ? = ЕУ?, условие (45.14)
означает возможность использования ВКБ-приближения. Отсюда
Y ~ Арг-т ехр |± J pdx], (45.15)
р = h~l{c/c0 - 1 - <у>/с0 + E/c0)i/2.
Пусть R имеет вид
Rix) =Ro*{ ехр i-^x)
и ч достаточно велико. Тогда, подставляя
(45.16) в (45.11), находим
Ii ~ AiRoivy/icoh2^2 + с0 + <у>),
где А, - константа порядка единицы. Выражение {45.17) для нелинейного
отрицательного трения при малых <у> переходит в линейное трение с
коэффициентом (инкрементом) l/I/<z^>I = А^0/(с0к2^2 + с0). С ростом
амплитуды волны <у> эффективный инкремент уменьшается. Действительно, при
этом солитон становится* уже, так как ширина солитона имеет порядок
Д ~h[c0/(c - с0)]1/2, ' (45.18)
а амплитуда ~ с - с0. Чем уже солитон, тем более
