Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Засланский Г.М. -> "Взаимодействие волн в неоднородных средах" -> 47

Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.

Засланский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах — М.: Мир, 1982. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): vzaimodeystvievolnvneodnorodnih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 55 >> Следующая

da. Соответственно в уравнении (44.15) следует заменить sin2 а на
В заключение сделаем два замечания. Первое связано с тем, что
рассматривались только точки трансформации qi = q2. Существуют и другие
особенности решений (44.3) - например, в точках, где qii2 = 0. Как
показано в § 43, такие особенности приводят к общему росту в среднем
адиабатического инварианта I всей системы. Естественно, что проведенное в
данном параграфе рассмотрение предполагает, что эффекты, связанные с
трансформацией типа (44.4), являются основными. Второе замечание связано
с возможностью простого обобщения изложенного метода для произвольного
числа связанных колебаний.
х3 + 41 1 sin2 ах2¦+ [4/ 2 sin2 а + (qi - q2)2]x +
+ 2(qi - q2)4~l sin2 а = 0. (44.15)
156
§ 45. Распространение нелинейной волны в случайной среде
Решение задачи о распространении линейной волны в случайной среде до сих
пор встречает серьезные трудности. Если, однако, флуктуирующая часть
среды мала, то существуют достаточно хорошие методы исследования (см.,
например, [3, 8]), аналогичные борнов-скому приближению в квантовой
механике. Эти методы могут быть использованы в случае слабой нелинейности
[15, 16], когда при вычислении поправок к волне за счет флуктуаций среды
нелинейностью можно пренебречь.
Если нелинейность волны не является малой, то в обычном виде методика
исследования линейного случая неприменима. Будем для определенности
говорить о мощном волновом импульсе - солитоне, распространяющемся в
случайной среде. Можно выделить два предельных случая: 1) размер солитона
немного меньше характерного масштаба флуктуаций; 2) размер солитона велик
по сравнению с масштабом флуктуаций. В первом случае флуктуации являются
адиабатическими и анализ распространения нелинейной волны в такой среде
можно провести, например, с помощью метода Уитэма [20]. По существу,
анализу такого типа посвящены работы [21, 22] о распространении солитона
на мелкой воде со случайно меняющейся глубиной. Метод для исследования
второго случая при распространении солитона в области мелкомасштабных
флуктуаций рассматривается ниже. В основе его лежит учет нелинейных
членов в уравнении без предположения их малости. Это приводит к тому,
что, например, диссипативный член перестает быть линейным и приобретает
довольно сложную структуру.
Пусть движение нелинейной волны описывается уравнением
vt + c0vx + (1/2)(у2)* + c0h2vxxx - \Q{v}, (45.1)
левая часть которого есть уравнение Кортевега - де Вриза, а правая часть
учитывает неоднородность среды при | = \(х). Здесь с0 - скорость звука, a
h - масштаб дисперсии (например, глубина "мелкой воды").
157
Все дальнейшие рассуждения и выкладки не зависят от вида функционала QM.
Мы обратим, однако, внимание лишь на два различных вида: Qiiv) = v и QZM
- vx; первому соответствует диссипативный член в уравнении (45.1),
приводящий к затуханию волны со временем при | < 0 и нарастанию при \ >
0. Подобный член возникает, например, в цепочке осцилляторов, для которых
сила трения пропорциональна их скорости. Действительно, линейная часть
уравнения
(45.1) получается в длинноволновом приближении из системы
Уп ' ?\Уп " cQh (Уп+1 2уп -{~ Уп-i)j
где уп - смещение re-го атома и v = y. Член \yn - %v описывает трение
(положительное или отрицательное в зависимости от знака \) из-за
взаимодействия со средой и для случайной функции %{x) имитирует
взаимодействие с турбулентной средой.
Другой интересный случай возникновения члена типа Q1 соответствует
распространению волны на "мелкой воде" с переменной глубиной h = h0 +
h^x) в тех случаях, когда производная dhjdx достаточно велика [23, 24J.
При этом g~ dhjdx описывает случайные шероховатости дна.
Случай Q - Qz - vx соответствует, как видно из
(45.1), случайной добавке %(х) к скорости звука с0 и также возникает
из-за неоднородности среды. Однако правая часть (45.1) имеет при этом
недиссипативную структуру.
Далее во всех выкладках будем для удобства писать выражение Qи а в конце
работы приведем результат для Q2. Относительно величины |, случайным
образом зависящей от х, будем предполагать ее малость и малость ее
градиентов:
1 < v, d(ln l,)/dx > <9(ln v)/dx. (45.2)
Кроме того, считаем <|> = 0, <?(ж)|(г/)> = R(x - у). Полагая f = <i;> +
u, <u> = 0 и учитывая малость и< <v>, находим из (45.1)
<y>i + 1/2(<1>>2)х + с0<у>* + с0/г2<у>хи: =
= <|и> - (1/2)<и2>х, (45.3)
М/ + [м(<р> + с0)]х+ иххс = |<у>. (45.4)
158
В нулевом приближении усредненная волна удовлетворяет уравнению
<v>t + (1/2>(<у>2)* + c0<v>x + c0h2<v>m = О,
решение которого известно. Пусть, например, это будет солитон, движущийся
со скоростью с> с0, (v(x,t)} = = v0(x - ct). Решение в такой форме может
быть подставлено в уравнение (45.4), так как учет изменения параметров (в
частности, скорости с) за счет флуктуаций | привел бы в уравнении (45.4)
для величины и к появлению членов более высокого порядка малости.
Учитывая это, перейдем в (45.4) к новой системе отсчета, движущейся со
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 55 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed