Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Засланский Г.М. -> "Взаимодействие волн в неоднородных средах" -> 42

Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.

Засланский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах — М.: Мир, 1982. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): vzaimodeystvievolnvneodnorodnih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 55 >> Следующая

отрицательной энергией, резонансное нелинейное взаимодействие приводит к
одновременному нарастанию амплитуд всех трех волн. В простейших моделях
[23, 24], описывающих такое взаимодействие, наблюдается так называемая
взрывная неустойчивость (рост амплитуд всех взаимодействующих волн до
бесконечности за конечное время п на конечной длине).
Естественно, что в зависимости от конкретной физической ситуации модели
должны быть дополнены факторами, обусловливающими ограничение
бесконечного роста амплитуд волн. Если амплитуды волн в результате
взаимодействия достигают больших значений, то чрезвычайно важным
становится учет нелинейностей более высокого порядка. В ряде работ
показано, что стабилизация взрывной неустойчивости может быть связана с
расстройкой резонансного взаимодействия волн, возникающей из-за
нелинейных сдвигов частот [25]. К ограничению роста амплитуд приводит
также обратное влияние возбуждаемых волн на орбиты ча-
139
стиц в плазме и функцию их распределения, а следовательно, на
дисперсионные свойства среды [25, 26]. При линейном затухании взрывная
неустойчивость возбуждается начиная лишь с некоторых пороговых
интенсивностей волн [25, 27].
В данном параграфе мы будем рассматривать другую ситуацию, когда
амплитуды волн не достигают таких значений, при которых становится
существенным учет нелинейностей более высокого порядка, а характер
взаимодействия волн в основном определяется неоднородностью среды.
Взрывная неустойчивость чрезвычайно чувствительна к расстройкам фазового
синхронизма волн. Так, в работе [28] показано, что при не слишком больших
начальных интенсивностях волн даже малая постоянная расстройка
стабилизирует взрывную неустойчивость и устанавливает периодический
режим. Стационарная картина нелинейного взаимодействия волн в
неравновесных неоднородных средах изучалась Т. А. Давыдовой и В. Н.
Ораевским [29]. Они показали, что неоднородность среды, приводящая к
расстройкам фазового синхронизма, может стабилизировать развитие
"пространственного взрыва".
Ниже мы будем рассматривать стационарную картину взрывного
взаимодействия, следуя работам [13, 14]. Пусть групповые скорости всех
волн положительны (i;j>0), волна с частотой (o3(o)i + со2 + <о3 = О, А(х)
= + к2 + к3) является волной с отрицательной
энергией. Тогда стационарная (d/dt - 0) картина нелинейного
взаимодействия волн будет описываться уравнениями, следующими из (5.16)
(см. гл. I):
dA^dl = iA*A*s ехр i j х (У d^ j,
dAJdl = iAtA3 exp i J х(У J, (41.1)
dA3/d% = iAfA* exp г j x (?x) dlx j,
Здесь комплексные амплитуды введены так же, как
и в § 37 настоящей главы: А] = v}/2Cj, | = Ux/iv^v3)1/2,
140
х(1) = А(1)(у1У2Уз)1/2/С/ (U для простоты считаем действительным).
Квадрат модуля комплексной амплитуды \Aj\2 имеет смысл плотности потока
числа квантов. Уравнения (41.1) имеют интегралы движения, аналогичные
соотношениям Мэнли - Роу (37.2)
N3 - Nl = ml = const,
N3 - Nz = m2 = const,
7V3-= \A}\2, (41.2)
- N2 = m3 = const.
Системе (41.1) тождественно удовлетворяет следующее интегральное
соотношение:
[N3 {Nз - тг) (N3 - тг) J1/2 cos 0 - (1/2) j dlxx (У X
О
X dN3/dh = Г, Aj = 7V}/2 ехр (icpj). (41.3)
\
Здесь 0 = - Ф1 + ф2 + Фз + j dli>c (У , а Г - кон-
о
станта, определяемая граничными условиями.
Система (41.1), так же как и в предыдущих параграфах, приводится с
помощью соотношения (41.3) к следующему уравнению для плотности потока
квантов волны с отрицательной энергией:
dNJdl = ± 2[N3 (Ns - т.]) (Ns - т2)]^ sin [a {jV3 (?)}],
(41.4)
f 1 1 а {/V3 (?)} = е0 + j X (У dlt - (1 /2) J dh [Л^1 + (N3 -{ 0 0
- mi )_1 + (N3 - тг)~1\ + j (It) dN3/d%2 j J-
(41.5)
Знак в уравнении (41.4) определяется начальным значением относительной
разности фаз волн 0о = 0(О). При точном согласовании фазовых скоростей
волн к 0(0) = п/2 (Г = 0) уравнение (41.4) решается в эллиптических
функциях. Удобнее переписать для этого случая уравнение (41.4) в
интегральной форме:
141
w,">
2g = J dN3/[N3 (Лг3 - wij) (N3 - ?re2)]1/2. (41.6)
",(o)
Пусть для определенности 7V3(0) > ml> m2, тогда после введения переменных
y = (ml/Ni)m, ч = {moJmi)in (41.7)
интеграл (41.6) приводится к эллиптическому [19]:
1/(")
m}/2g = - J* dy/[{i - г/2) (1 - YV)J1/2- (41.8)
к'(о)
Отсюда получаем выражение для iV3(|)
•Л^з (I) = (tm)i/[((tm)iM'3 (0))1/2 - sn (mf2 g; у)]2. (41.9)
Поскольку mJN3{0) < 1, выражение (41.9) обращается в бесконечность как
(goo -g)~2 на некотором конечном расстоянии Иными словами, нелинейное
взаимодействие волн в этом случае носит взрывной характер. Для
безграничной однородной среды существует пространственно-однородное (д/дх
= 0) решение исходной системы уравнений, совершенно идентичное
(41.9) в силу упоминавшейся выше пространственно-временной аналогии.
Это решение описывает временную картину развития взрывной неустойчивости
в безграничной однородной среде [3].
Приближенные решения уравнения (41.4) можно получить аналогично тому, как
это было сделано в предыдущих параграфах. Ограничимся анализом
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 55 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed