Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
дальнейшем окажется несущественной. Каждый акт трансформации можно
рассматривать как "столкновение" волн, а матрицу перехода от (Л,, А2) к
{Аи Аг) - как оператор столкновения.
Матрица перехода между последовательными столкновениями имеет вид
берутся между двумя ближайшими точками трансформации. Для того чтобы
избежать возможности перекрытия областей трансформации, ограничимся
случаем достаточно редких столкновений и потребуем
где I - среднее расстояние между точками трансформации. Неравенство
(44.5) приводит, в частности, к тому, что фазовые набеги Su S2 в (44.5)
велики и можно пренебречь фазой ф.
Предположим теперь, что в некоторой начальной точке хй задан вектор А0 с
компонентам^ (4(]°\ А(2о)) и на отрезке пути до х волна испытывает1 п
столкно-
Н = A,Ht + А2Н+.
ехр (- 8) = sin а,
(
А
А2
(
sin а
i ехр (iq/
Zg1|2" 1,
(44.6)
153
вений (проходит п точек трансформации). Тогда в точках х вектор А" может
быть представлен как
Ап(ж) = Мп ¦ Mn-i •. .. • Mi ¦ А0(х0).
Здесь Мп = Mh{xk-i, xh) и определяется формулой
(44.5), в которой точкой трансформации будет хк, все параметры зависят от
номера к, а интегралы в S[^l вычисляются на дуге между xk-i и xh. Задача
заключается в определении среднего значения <А(а:)>, усредненного по всем
возможным вариантам размещения точек трансформации на (х0, х). Будем
считать распределение последних пуассоновским, а величину а - пока
постоянной (ограничение на а будет снято ниже). Это означает, что
вероятность появления точки трансформации в элементе dx равна l~ldx.
Рассмотрим систему
dU!dx = iqJJ - i 2 6 (x - xh) (aV - nU/2),
XI , (44'7)
dVIdx = iq2V - t ^j 6 (x - xk) (aU - яТ /2), k
где xh - точки трансформации. Нетрудно убедиться, что матрица перехода
решений системы (44.7) между двумя последовательными точками
трансформации тождественна с (44.5), если положить
U = ql/2Hu V = q\,2H2. (44.8)
Из (44.8) следует, что квадраты амплитуд U, V совпадают с действиями
соответственно Ht- и #2-колебаний, и задачу об усреднении решений системы
(44.1) можно заменить эквивалентной задачей об усреднении решений системы
(44.7).
Введем функцию распределения j(x, Uu U2, F,, F2), где Ui = Re U, U2 = Im
U, F4 = Re F, V2 = Im F,
§ JdU1dU2dV1dV2 - 1. Кинетическое уравнение для / можно получить обычным
образом (см., например, [31]):
df/dx - qiU2df/dUi + qiUidj/dU2 - q2V2df/dVi +
+ q2Vidf/dV2 = S{f}, (44.9)
где столкновительный член имеет вид
s {/} = г1 [/(*, Ult иг, Vlt ?2) - /], (44.10)
154
f=^f(x, и 1, U2, Vi, V2).
Координаты t71|2, F1i2 определяются из условия, что в результате
столкновения они принимают значения ЕЛ,2, Vi,2. Уравнения (44.9), (44.10)
имеют вид обычного уравнения Колмогорова - Феллера для разрывного
случайного процесса. Из системы (44.7) или (44.4) п (44.8), имеем
Ui - U2 cos a+V i sin а, U2 - -Ul cos a + V2 sin a,
(44.11)
Vi - Ui sin a + V2 cos a, V2 = U2 sin a - Vt cos a.
Преобразования (44.11), так же как и (44.4), (44.5), сохраняют
инвариантной величину
/= |tf|*+ + (44.12)
имеющую смысл полного действия системы двух колебаний. Действие
столкновений заключается в перераспределении адиабатических инвариантов
каждого из колебаний.
Уравнения (44.9), (44.10) позволяют вычислить любой момент функции
распределения /. Физический интерес представляет определение средних
значений адиабатических инвариантов каждого из типов колебаний, т. е.,
согласно (44.12), средних <lf/|2>, <|У|2>. Умножая (44.9) последовательно
n&U\, U\, U,, U2, Vf, ... и интегрируя по всему фазовому пространству,
получаем
dil^/dx = -l~l sin2 a</i> + l~l sin2 a</2> + l~l sin 2"</21),
d(I2y/dx = l~l sin2 a</t> - l~l sin2 a</2> - l~l sin 2a(hi>,
d<Il2y/dx - (q2 -qlXI2l>, (44.13)
d<I2i}/dx = - (q2 - <7iK/i2> - (2 Z)_1 sin2a</1> +
+ (2Z)-1 sin 2а<12У - 2l~l sin2 aihi),
h-ul + ul I2 = vl + vi, I12 = U1V1 + U2V2 =
= Re[C/(Fx-iF2)], hi = UiV2- U2V, = -ImCt/tF, - iV2)].
Из (44.13) и (44.12) находим стационарное решение
</1> = </2>=//2, </12> = </21> = 0. (44.14)
155
Результат (44.14), в частности, означает, что если на границе плазмы было
возбуждено только колебание с заданным значением I, то после прохождения
достаточно широкого слоя второе колебание значительно "нагревается".
Перейдем теперь к описанию процесса приближения к равновесию. Решение
системы (44.13) отыскиваем в виде ехр Ых). Уравнение для х будет
Из трех корней уравнения (44.15) один отрицательный и два комплексно-
сопряженных с отрицательной действительной частью.
Длина релаксации определяется корнем х0, для которого [Rexol минимально.
Выпишем значения х0 для некоторых предельных случаев:
х0 l0\ qL - q21" 1, l0 = ?/4 sin2 a, (44.16)
x0 ~ -(1/2)(g, - q2)4o, l0\qi - q%\ <1.
Второй случай ввиду условия редких столкновений
(44.6) может осуществляться лишь при достаточно малых значениях (qi -
q2).
Если теперь параметр столкновения а считать случайным с функцией
распределения и>(а)(§ w (a) da = 1), то в уравнении (44.9)
столкновительный член S{f} заменяется на {"S {/}}> = j" w(a) S { f(a)}
