Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Засланский Г.М. -> "Взаимодействие волн в неоднородных средах" -> 43

Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.

Засланский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах — М.: Мир, 1982. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): vzaimodeystvievolnvneodnorodnih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 55 >> Следующая

простейшего случая граничных условий: Г = = т2 - 0,
0(0) = л/2. Перепишем уравнение (41.4) в интегральном виде с учетом этих
граничных условий
N3 (g) = Nз (0) |l - (N3 (0))1/2 j' dl, X
-Ip2
X cos j + , (41.10)
_o J)
Ф(r) = - (3/2) J dl^N^))-1 j d?a*(y dN3!dl2. (41.11)
"42
Рассмотрим сначала решение в области, где отсутствуют точки фазового
синхронизма. Если неоднородность достаточно сильная, так что выполнены
условия
(Ы/Ш0)|/2)-'"1, |d(x-')/dgl."l, (41.12)
то интеграл в (41.10) может быть оценен методом стационарной фазы. При
этом вклад в интеграл вносят концы интегрирования, поскольку, по условию,
в рассматриваемом интервале отсутствуют точки стационарной фазы.
Взрывная неустойчивость при выполнении условий
(41.12) не развивается и решение носит осцилляторный характер ^
Na(t)&Na(0)
(ЛМО))172^))-1 X >
(41.13)
X sin у И (У d^ + Ф(Е)
В этом выражении величина Ф(?) приводит к медленному изменению фазы
синуса, который приближенно можно оценить следующим образом:
I
¦Ф(5)"ЗЛГЯ(0) jd^/xfo). (41.14)
О
Выражение (41.14) показывает, что медленный набег фазы Ф(?) следует
учитывать, если мы интересуемся точной фазой решения, поскольку Ф(|) на
значительных длинах может дать набег порядка единицы.
Обратимся теперь к виду решения в областях вблизи точек стационарной фазы
|е, которые являются областями фазового синхронизма:
x(gc) = -d(r)/dgl?=Ec~0. (41.15)
Пусть 0С = 0(?с) - относительная разность фаз волн,, с которой
взаимодействующие волны приходят в точку стационарной фазы. Если
выполнены условия
(|х%(0)|)~1/2" 1, Iddx'l-^Vdgl " 1, (41.16)
х' = dKldl |6=6е,
то приближенное решение в области вблизи точки
143
5 = gc можно записать в виде
N3(D "7V3(0)[l-x(g)]-2, (41.17)
х(?) = (niVj(O)/1 к' I)1/2 cos 0C [1 +
+ sign (I - VC((\x'\/2)1/2\t, - gJ)J --(l/2)(jtiV3<0)/|>c/i )1/2 sign
("') sin 0C[1 +
+ sign {% - |c)5((lx'l/2)1/2l^ - Id)],
fl, ?>° sign? = ^ 0c==0(?c)- (41.18)
Здесь С it) и Sit)-интегралы Френеля, определяемые формулами:
t
С (t) - (2/л)1/21 cos t\dtx,
0
t
S(t) = (2/it)1/a j sin t\dtv
Характер решения (41.17), (41.18) определяется знаком функции %(|), в
зависимости от которого область вблизи точки фазового синхронизма
оказывается -областью нарастания интенсивностей волн (sign % = = +1)
либо, наоборот, областью устойчивости (sign% = = - 1). Максимальное по
модулю значение %тах легко находится непосредственно из (41.18):
Хтаж ~ (n7V3(0)/lx/|)1/2[2 cos 0С - sign {%') sin 0j. (41.19)
Знак %тах, а следовательно, и характер решения определяется значением
фазы 0С. Так, при sign(x') = - 1
signxmaz=l, - arctg 2 < 0С < я - arctg 2, (41.20)
sign%max = - 1, я - arctg 2 < 0С < 2я - arctg 2. (41.21)
Если sign%maj? = ~l, то взрывная неустойчивость в области фазового
синхронизма не развивается. В случае, когда sign %тах - 1, условием
стабилизации взрывной неустойчивости является следующее:
Хт"<1.. (41.22)
Рис. 18, полученный в результате анализа исходной ¦системы уравнений на
ЭВМ, демонстрирует фазовый эффект, описываемый формулами (41.17) и
(41.21).
144
Расстройка фазового синхронизма выбрана в виде x(?)=acos|, причем кривая
2 соответствует устойчивому вблизи точки стационарной фазы |с = п/2
случаю (sign х, = -1) и фазе 0С, попадающей в интервал, определяемый
неравенствами (41.21).
Вдали от точек стационарной фазы в сильно неоднородных средах решение
носит, как видно из (41.13), осцил-ляторный характер с малыми периодами и
амплитудами, причем осцилляции интенсивности происходят вблизи некоторого
среднего значения, которое опреде-
Рис. 18. Численное решение системы (41.1) при и(|) -a cos §.
а = 40 (i), 35,8 (2).
ляется вкладом в решение предшествующих точек стационарной фазы. Так,
после прохождения р точек стационарной фазы решение будет иметь вид
р
N3(t)^N3(0)
1 - Xmaxj j- 1
- (N3 (О))1 (И (I))-1 Sin U (go dl, + Ф (I)
[S
Vo
(41.23)
Здесь Xmas j - вклад в решение /-й точки стационарной фазы, определяемый
по формуле (41.19).
Глава VIII ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН
в случайно-неоднородных средах
§ 42. Введение
Неоднородность сред весьма часто может носить случайный характер
(например, из-за турбулентных флуктуаций плотности, скорости, магнитного
поля и
6 Заказ М 414
145
т. nJ. В таких случаях мы приходим к необходимости анализа систем
линейных или нелинейных стохастических дифференциальных уравнений [1-6].
В линейных задачах теории распространения волн в средах со случайными
неоднородностями при условии малости флуктуаций амплитуд полей
применяются хорошо разработанные методы, основанные на последовательном
усреднении по случайному процессу рядов теории возмущений [1-3].
Существенные результаты в линейной теории получены и для сильных
флуктуаций с применением аппарата теорий марковских случайных процессов
(см., например, [7, 8]).
Особые трудности возникают при анализе нелинейных стохастических
дифференциальных уравнений [14-17]. Непосредственное усреднение
стохастических дифференциальных уравнений обычно удается провести лишь
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 55 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed