Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(45.16) (45.15),
(45.17)
462
плавными для него становятся флуктуации фона, что и приводит к уменьшению
вязкости. Данное обстоятельство следует также и из условия мелкомасштаб-
ности в (45.2), в чем можно убедиться подстановкой
(45.18) в (45.2).
Перейдем к анализу выражения для /2. С помощью выражений (45.15), (45.16)
оцениваем аналогично предыдущему (45.12)
/2 * (A?R0/4)[<v}/(c0h2 + с" + <у"]2, (45.19)
где Аг - константа порядка единицы. Таким образом, получаем окончательный
вид уравнения (45.3) для<1;>:
~<у>( + Co<y>i + AiRoivy/icJf'f + с0 + <у>) +
+ Co&Vxxx = 0. (45.20)
Выражение для /2 в (45.19) и (45.20) учитывает изменение вида
нелинейности волны в среде с флуктуациями. Этот эффект приводит к
существенной перестройке формы волны и исчезает при малых <и> или в
адиабатическом случае.
Основные эффекты, полученные выше,- нелинейная структура "вязкого" члена
и изменение типа нелинейности волны - возникают при распространении
сильно нелинейной волны в среде с флуктуациями и не являются,
естественно, особенностью рассмотренной конкретной модели. Нетрудно
видеть по схеме вывода поправок 1и /2, что без каких-либо изменений можно
рассмотреть любой другой вид члена в уравнении
(45.1), связанного со случайными неоднородностями. Аналогичное замечание
можно сделать и относительна вида уравнения (45.1). Рассмотрение другого
типа нелинейного волнового процесса приводит к изменению вида оператора
Я, но для последнего требуется только знание асимптотик собственных
функций.
Нетрудно убедиться, в частности, что если в правой части уравнения (45.1)
стоит член %vx (это соответствует флуктуациям плотности среды), то
диссипативный член в уравнении для усредненного фона <у> имеет вид
Ii - <§У*> = <§Ы*> ~ Rr,(v'>*x/{cjl2'f' + Со + <У>),
соответствующий стандартному вязкому члену.
6*
163.
§ 46. Нелинейное взаимодействие трех волн
В § 45 на примере распространения нелинейной волны в слабодиспергирующих
случайных средах было показано, что случайные неоднородности приводят к
появлению нелинейной структуры "вязкого" члена и изменению характера
нелинейности в уравнении для среднего поля. В настоящем параграфе мы
обратимся к анализу вырожденного нелинейного взаимодействия трех волн в
случайных средах и покажем, что аналогичные эффекты имеют место и в этом
случае [26].
Сравним характер затухания средних интенсивностей гармоник из-за
флуктуаций неоднородности среды и за счет диссипации. Для этого обратимся
к анализу слабодиссипативного случая. Дополним уравнения
(38.1), описывающие генерацию второй гармоники, членами, ответственными
за слабую диссипацию полей:
Здесь v 1 и v2 - декременты затухания соответственно первой и второй
гармоник, х(§) - расстройка фазового синхронизма, являющаяся случайной
функцией координаты.
Исследуем вначале недиссипативный случай (v, = = v2 = 0). Для частного
случая граничных условий (7(0) = 0) система (46.1) приводится к одному
уравнению (38.11) для интенсивности второй гармоники 7(?) (обозначения
здесь те же, что и в § 38):
dpjd% + Vip! = -2р!р2 sin 0 dp2ldl + v2p2 = pi sin 0, (46.1)
dQldl = x (?) + [p\/pa - 4p2] cos 0.
a {7 (?)} = J x (&) + j [(1-7 (^Г1 -
0 0
0
- (27'(?1))-1] J d?2x (У dl/dU. (46.3)
0
164
Пусть х(?)-стационарный гауссовский процесс с нулевым средним <х(?)>=0 и
парной корреляционной функцией <x((?;i)x(?;2)> = Bit,i - t,2).
Будем считать флуктуирующие составляющие амплитуд гармоник малыми по
сравнению с их средними. Тогда при исследовании уравнения (46.2), (46.3)
можно применить теорию возмущений аналогично тому, как это было сделано в
§ 38. В результате в первом приближении по малым флуктуациям
интенсивности из
(46.2) можно получить решение
/(?)":th2 cos [а {/0 (?)}], (46.4)
U
где I<ji'Q) = th2 (?)- невозмущенное решение. Нетрудно видеть, что любые
моменты и корреляционные функции случайного процесса lit,) могут быть
получены из (46.4) в виде интегралов от известных функций. Заметим, что
непосредственное применение теории возмущений к системе (46.1) уже на
первом шаге привело бы к необходимости исследовать систему второго
порядка с переменными коэффициентами весьма сложного вида.
Чтобы получить решение для средней интенсивности ilit,)У в явном виде,
будем считать в (46.4) набег разности фаз а малым (а<1). Разложив
выражение (46.4) по малым а и проведя усреднение, получим
Z
1 - (2/sh 2? j' dSx <"а {70 (Sx)}> , (46.5)
О
/"(?)= th2?.
Рассмотрим случай малых корреляционных длин 4 (ч-1 = IJIS!L < 1, hn
определена формулой (38.4)). Для получения результатов в первом
приближении по малому параметру ч-1 < 1 корреляционную функцию Bit,! -
t,z) можно считать б-функцией
Bi^-U) *b-6(k-W. (46.6)
Для получения следующих членов разложения по малому параметру 4-1 следует
конкретизировать вид корреляционной функции Ж?( - ?2). Можно рассмот-
</(?)> "Л* (?)
165
реть, например, корреляционную функцию вида
ЖЕ, - Ы = <Х2> ехр С-Tie, - Е*1), (46.Т)
где <х2) = В (0) = <Д2 (0)) - средний квадрат без-
