Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Пуассона, т. е. вероятность того, что интервал между th и ?a+i лежит в
области (Т, Т + dT), равна
P(T)dT = Kexp(-kT)dT. (43.17)
Предполагается известной также плотность вероятности w(e) того, что е"
(для любого п) лежит в интервале Се, е + de). В случае (43.12) уравнение
для •/(§, г), t) рассматривалось в [25], приведем его без вывода
<5/ {I, Л, t)ldt = (ы%д!дг\ - цд/д1) / (g, n, t) +
4- % j ц + coe'g, - r(, t). (43.18)
В частности, если uKe') = jt-16(e'- е), то имеем df(%, rj, t)/dt =
(coze<9/<9r) - у\д/д\) + (%, г), t) +
¦+A[/(g, г) + coeg, t) - /(g, т|, t)]. (43.19)
При больших б, т. е. очень малых е, получаем из
(43.19) уравнение типа Фоккера - Планка
df/dt " (со2 + eAco)g<9//<9r| - rjdf/d'g +
+ Х(^вг1У2)дН/дц2 (43.20)
с коэффициентом диффузии D ~ ^co2e2g2/2. Согласно
(43.11), величина е экспоненциально мала и, следовательно, также мал
коэффициент диффузии. Как увидим ниже, вторые моменты от /, которые в
силу (43.9) и (43.16) пропорциональны адиабатическому интервалу
осциллятора I, растут со временем. Это приводит к тому, что начиная с
некоторых моментов времени уравнение (43.20) перестает быть справедливым.
Условие применимости уравнения (43.20) следующее:
g<g0 = (2/we)Wln//5r1)-1. (43.21)
Введем вторые моменты функции распределения /:<g2>, <1г|>, <Tf>, где
скобки <...> означают усреднение по /(g, rj, t). Уравнения для них,
приведенные в [25], легко получаются из (43.19) и имеют вид
¦d<?>/dt = 2<gri>,
150
d<%r\>/dt = -(со2 + Авсо)<|2> + <r)2>, (43.22)
d(r?y/dt = Ае2со2<|2> - 2(со2 + Яесо)<ет]>.
Решение системы (43.22) пропорционально ехрГг, где Г - корни уравнения
Г3 + 4(со2 + Авсо)Г-2Ав2со2 = 0. (43.23)
Уравнение (43.23) всегда имеет один неустойчивый корень Г0 > 0, и в нашем
случае
Г0 " е2Я/2 = Я, ехр (- 2б)/8. (43.24)
Таким образом, характерное время развития неустой-
чивости достаточно велико: тв ~ 8Я-1 ехр (26).
В соответствии с (43.9) все вторые моменты пропорциональны I и рост их в
среднем со. временем означает увеличение величины </) = (|2 + iq2/Q2).
Иногда удобно переписать уравнение (43.18) в переменных типа действие -
фаза. Введем
/ = (е2 + со-2г)2)1/2, z = V(r)S- (43.25)
Тогда уравнение (43.18) принимает вид
dF (I, z)/dt = ад [(1 + z2) F (I, z)]Idz -f-
+ 1{F(T, z) д(7Л)!д{1, z) - F (I, z)}, (43.26)
где I - /[1 + (z + e/co)2]1/2/(l + z2)1/2, z = z + s/co, F(I, z)dldz =
f(t, 4)dldi].
Если проинтегрировать (43.26) по I, то получается кинетическое уравнение
для фаз (точнее, для котангенса фаз z). Однако кинетического уравнения
только +°°
для F (I) = J F (I, z) dz получить не удается.
-оо
Приведенный выше метод получения кинетического уравнения может быть
применец и для более сложных, чем осциллятор, систем. При этом
предполагается известным оператор сдвига Т+ в ВКБ-приближении.
§ 44. Трансформация волн в среде со случайными неоднородностями
Пусть в среде возможны два типа связанных колебаний hi, hi, описываемых
уравнениями, аналогичными уравнениям (14.13) для связанных осцилляторов,
151
d^hjdx2 + k\ (x) = a (x) h2,
(Ph2/dx2 + k\ (x) h2 = a (x) кг.
Здесь x - параметр неоднородности. В однородном случае можно перейти к
нормальным колебаниям Я12:
d2Hli2ldxz -f = О,
где волновые векторы qii2 нормальных колебаний определяются из уравнений
qU •= (ft* + ft*)/2 ± [(ft* - ftl)*/4 + a*]1/2. (44.2)
В слабонеоднородном случае, когда кli2, а - "медленные" функции
координаты d(ln qlt2)/dx " gii2, приближенными решениями (44.1) будут
"квазинормаль-иые" колебания (см. § 14)
Hi,z ~ (?1,2)_1/2 ехР (± i j ?1,2 СО d^'J, (44.3)
где g1|2 по-прежнему определены 'уравнениями (44.2).
В определенных областях, в частности в окрестностях точек, где qt = q2,
решения типа (44.3) становятся несправедливыми (см. гл. II). При
прохождении этих областей амплитуды квазинормальпых колебаний
скачкообразно меняются по сравнению с начальными и происходит как бы
перераспределение энергии между квазинормальными колебаниями. Точки, в
которых <7i = ?2, будем называть в дальнейшем точками трансформации волн.
При прохождении волн через достаточно большие объемы неоднородной среды
число точек трансформации может быть большим. Естественно считать их
распределение хаотическим и заданным в виде некоторой случайной функции
координаты. Возникает вопрос, как описать кинетику волн в среде со
случайно расположенными точками трансформации. Формально задача
аналогична системе связанных осцилляторов, проходящих через резонансы в
случайные моменты времени. Ниже развивается метод решения подобного рода
задач [19].
Начнем с рассмотрения единичного акта трансформации. Пусть для некоторых
значений х слева от области трансформации решение уравнения (44.1) пред-
152
ставлено так:
Н = A,Ht + A2Ht.
Справа от области трансформации решение имеет вид
Связь между (Аи Аг) и (Аи Аг) определяется уравнением С 15.15), в котором
мы для удобства переобозна-чим:
Здесь интеграл в 8 берется по контуру, охватывающему две
комплексногсопряженные точки трансформации; Ф - известная фаза, которая в
