Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, рассмотрим преобразования вида
S0 = х° {х\ X1, ж2, х% (12.1)
Ж4 = 2і (х\ х\ х% (12.2)
д
обладающие свойством —=0. Очевидно, преобразования
137 (12.1)— (12.2), где xo — временноподобная координата, есть наиболее общие преобразования, связывающие системы координат, покоящиеся относительно заданного тела отсчета.
При формулировке критерия ограничимся инвариантностью по отношению к преобразованиям (12.1), т. е. хронометрической инвариантностью, и ковариантностью по отношению к преобразованиям (12.2), т. е. пространственной ковариантностью. Таким образом, при задании тела отсчета свобода координатных преобразований ограничена хронометрической инвариантностью (12.1) и пространственной ковариантностью (12.2). Преобразования (12.1)—
(12.2) послужили Зельманову основой, на которой был построен развитый им формализм хронометрических инвариантов [204—206].
Хронометрические инварианты, т. е. трехмерные физические величины, инвариантные относительно преобразований (12.1), можно рассматривать как наблюдаемые в общей теории относительности, т. е. величины, непосредственно связанные с физическими измерениями. Поэтому хронометрически инвариантный подход к гравитационно-инерциальным волнам представляет тем больший интерес, что определяемые таким образом волны можно рассматривать как объект непосредственного физического измерения.
Следуя Зельманову [204, 205], введем хронометрически инвариантные операторы дифференцирования, обозначая их, в отличие от обычных, звездочками:
(12-3)
Vfr SOO
Введем также хронометрически инвариантный пространственный метрический тензор
Ьп = - *» + 8j^ , 6" = - g* Ъ = det И Ь№ f. (12.4)
Для хронометрически инвариантных вектора гравита-ционно-инерциалъной силы Fi и тензора Aik угловой скорости абсолютного вращения системы отсчета 2 относительно локально сопутствующей геодезической системы S0
138 имеем выражения [206]:
Fi=WCdiW- Wi), (12.5)
Ails = VliVkl +FliVkb (12.6)
где W и Vi — соответственно скалярный и векторный потенциалы гравитационно-инерциалъного поля:
W = (1 - У^), Fi = - goi/ У^Г
Хронометрически инвариантный тензор Dih скоростей деформаций трехмерного пространства отсчета системы 2 относительно локально сопутствующей системы S0 определяется выражениями [205]:
Dik = -Tr-Obik, = _-J--аа» D = mOlnYb. (12.7)
Здесь D = DiI — скорость относительного объемного расширения элемента пространства.
Определим также хронометрически инвариантные аналоги символов Кристоффеля и операцию хронометрически инвариантного трехмерно-ковариантного дифференцирования [205]:
AIi = 4г т + 'eA* - * (12-8)
¦вд::* = mSiQ)'* - MjQi::" +... + дlIlQj::1, (12.9)
причем
'Vfrk = O, 'Vibf = O, tVibik = о.
В рамках формализма хронометрических инвариантов можно, кроме динамической величины Fi, кинематической — Aih и статической — Dihl ввести четвертую, геометрическую характеристику сопутствующего трехмерного пространства, именно, пространственный тензор кривизны
Klkif-
\
KkiIj = — (Н кі[щ + H[ki]ij), (12.10)
где
Hwi. = ъ Дії - *дАні + к?АІт - ASAiw, (12.11)
139 причем
K-ikij = — KkHj = — Kikji = Kijih. (12.12)
Как показал Зельманов, двадцать существенных компонент четырехмерного тензора Римана R^v могут быть собраны в трех хронометрически инвариантных тензорах, выражающихся через Fi, Aih4 Dih и Kiuj. Действительно, введем следующие трехмерные тензоры [91]:
»'W .. »-гік
хг, =--yijfe =--O^ ^fcZ, = JtXkli (12.13)
^oo /goo V '
Легко видеть, что тензоры Xі), Yijk и ZikvI являются хронометрическими инвариантами. Действительно, пусть Qtvp0 — компоненты мирового (четырехмерного) тензора ранга ть, все верхние индексы в которых отличны от нуля, а все нижние (числом т) — нули. Тогда, совершая преобразование (12.1), можно убедиться, что величины
г«...р= V00^0 (12Л4)
QgTp
(гооГ/2
образуют хронометрически инвариантный трехмерный тензор ранга ть — т. Отметим попутно, что формула (12.14) может служить алгоритмом построения хронометрических инвариантов из компонент вида Qoo---о мировых тензоров. Из определений (12.13) очевидно, что тензоры Xij', YijknZiklі построены именно по этому правилу, а потому удовлетворяют условию хронометрической инвариантности.
Выражая компоненты мирового тензора i?apY& через хронометрически инвариантные величины (12.5) — (12.7), (12.10), можно получить формулы Зельманова, устанавливающие связь тензоров (12.13) с этими величинами:
Xii = 'ODiJ- (D1i + A11) (Djl + An) + tV0Fii - ± FlFj,
(12.15)
Yijk = 'VjiAik + Dils) - 'VdAjk + Dlk) - 2AijFk, (12.16) Zmj = 2 (Dilk D1J1- - Ailk Aiv + AijAn) - Kmj. (12.17) 140 При этом
Х\ = ^ , Yu.і = -JL, Zijl.] + Xiy = - Rij, (12.18)
^oo К goo
^ii = ^ijfc = — ^jifc» ^(w = 0» (12.19)
а тензор ZkHj обладает свойствами симметрии и антисимметрии (12.12) тензора Khiij. Мы видим, что двадцать существенных компонент тензора Римана Rapyb выражаются через шесть существенных компонент тензора Xij, восемь существенных компонент тензора YiJk и шесть существенных компонент тензора Zktij.
