Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
122 2. Формализм Ньюмэна — Пенроуза
Вычисляя для метрики Бонди компоненты тензора Римана RaQyb и разлагая их в ряд по 1/г, можно убедиться [171], что они разбиваются на три группы равных (с точностью до знака) компонент, причем в компонентах первой группы разложение начинается с члена третьего порядка малости, 2 (G + CCi0) г-3, в компонентах второй группы — с члена второго порядка, (Cj02 + 2Ct0 ctg0) г-2, и в компонентах третьей группы — с члена первого порядка, Cj0Or-1. Это означает, что при Cj00 ф 0 гравитационное поле на больших расстояниях убывает обратно пропорционально г.
Стремясь устранить из этого результата элемент произвола, связанный с выбором «преимущественной» системы координат, Ньюмэн и Пенроуз предприняли попытку исследовать вместо координатных компонент тензора Римана его тетрадные компоненты.
Воспользуемся для этой цели формализмом Ньюмэна — Пенроуза [174], который позволяет, кроме того, инвариантным образом сформулировать «законы сохранения» мультипольных моментов.
Метод Ньюмэна — Пенроуза основан на предположении о существовании в выбранной области многообразия F4 четырех изотропных дифференцируемых векторных полей1) (класс гладкости их должен совпадать с классом гладкости компонент метрики ^lXv), два из которых удобно выбрать комплексно сопряженными. В координатах Бонди (я0 = и, X1 = г, X2 = 8, X3 = ф) эти векторные поля можно задать следующим образом:
№ = 6?, и* = 6? - 6?,
»"--Г(«+же«). (1114)
Ньюмэн и Пенроуз [174] и независимо от них в другой форме Кайгородов [74] показали, что метрика g^v может быть представлена в виде комбинации
g\w = ^V + ГСуА — т^пк — WyTTZv,
1J Существование таких векторов отнюдь не гарантировано общем случае. Однако для полей тяготения, создаваемых островными распределениями источников, при наложении некоторых асимптотических (граничных) условий такие векторы всегда существуют.
123 причем
IvIv- — n^nv- — Ш^тУ- = 0.
Десять независимых вещественных компонент тензора Римана в вакууме (i?tt? = 0) можно однозначно охарактеризовать пятью комплексными скалярами («тетрадными компонентами тензора Римана»1)):
Ф0 = RoLfrbl^mHtm*, ф г = Rafrbl*n№m\
ф2 = Ram т*пЧчть, (11.15)
Ф3 = т*пЧчпь,
ф4 = i?a?Y5 тап^Шупъ.
Гравитационное излучение называется уходящим от системы или падающим (на систему), в зависимости от того, ищем ли мы решение, задав начальные данные (в нашем случае функцию информации) на изотропной гиперповерхности абсолютно будущего или абсолютно прошлого (в линеаризованной теории тяготения соответствующие решения волнового уравнения называются запаздывающими или опережающими потенциалами). Предполагая, что в излучении присутствуют только уходящие волны, т. е. отвлекаясь от рассеяния системой падающего на нее внешнего излучения 2), а также задаваясь определенным классом L функций Фа (А = 0, 1, 2, 3, 4) в формулах (11.15), можно показать [175, 176], что в асимптотически плоском пространстве — времени один из скаляров Ф^, например Фа', допускает разложение вида
L
ФА' = S Г~(5+П) ФА' + О (r-(5+L>),
Tl=O
где коэффициенты разложения Фа' не зависят от г.
Пусть этим скаляром будет Ф0. Согласно Ньюмэну и Пенроузу [177], класс гладкости для него достаточно
х) Такие компоненты можно определить для любого тензора, обладающего всеми алгебраическими свойствами тензора Римана в пустоте, например для тензора Вейля.
2) Рассеяние падающего на систему тел гравитационного излучения рассматривали Зерилли [178, 408], Вишвешвара [179], Куч, Киннерсли и Торренс [180, 181].
124 Принять равным 2:
ф0 = ф Jr"5 + Фіг"8 + Ф*г~7 + О (г"~7). (11.16)
Тогда, используя тождества Бианки и следующее из них в случае (2.2) тождество
Ra?r-, 6 = 0,
можно получить асимптотические разложения остальных ФА:
O1 = <Djr* + О (г~5), Ф2 = Ф°r-3 + О (г4),
(11.17)
Ф3 = Ф^-2 + 0(г-3), Ф4 = Ф^"1 + О (г""2),
где Ф?, Фг, Фз, Ф® не зависят от г. Для метрики Бонди коэффициенты Фа зависят только от 0 и и, причем
Ф2=С(И, 0),00-
В случае аксиальной симметрии коэффициенты Фа разложений (11.16) — (11.17) выражаются через присоединенные функции Лежандра [182, 183]:
OO с»
Ф4° = 2 On («О Pl (COS 9), Ф° = 2 ^n (и) P1n (COS Є),
n=»2 n—1
OO OO
Ф2 = S c« («) Pn (cos Є), Ф? = S en (M) P^ (cos 0), (11.18)
n=0 n=l
00
Ф™= S CPn (COS Є).
П—2
В таком виде коэффициенты разложения обнаруживают аналогию с запаздывающими потенциалами волнового уравнения специальной теории относительности.
Действительно, в плоском пространстве — времени аксиально симметричное решение волнового уравнения в полярных координатах имеет вид
Ф<*> = г|)(")(г, и) Pn (cos 0), (11.19)
(ті}
где функции г|г определяются как решение уравнений
ФІи - 2г|)<01 + 2г-1 - - г-2 W (п + 1) ф<»> = О (11.20)
125 и описывают 2п-мультипольное излучение. В свою очередь, решение уравнений (11.20) выражается в виде конечного ряда по степеням параметра г-1;
к <*>
причем коэффициенты ряда удовлетворяют рекуррентному соотношению:
А (") (п)
