Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим другой пример — тензор энергии — импульса диссипативных процессов
Та ? = (р +р) UaUfi +PScxfi + ^afi- (12.57)
1J Последующие рассуждения справедливы в предположении,
что диссипативные процессы (вязкость и теплопроводность) не яв-
ляются слишком сильными [210].
153 В системе отсчета, соответствующей записи (12.57), вязкость не проявляется в силу третьего условия (12.44), а поток тепла отсутствует потому, что система отсчета сопутствует массе. Таким образом, в этой системе отсчета Ta.? для среды с диссипативными процессами сводится к рассмотренному выше Ta ^ для идеальной жидкости.
Третий пример, который мы рассмотрим, — это тензор энергии — импульса электромагнитного поля (2.30). Пусть
Ta? ^aPviVFliv
— тензор, дуальный тензору Максвелла. Введем обозначения:
As^ ^= (12.58)
У Soo У Soo
где Ax и K1 — хронометрически инвариантные векторы на-пряженностей электрического и магнитного полей соответственно. Можно показать [211], что эти векторы связаны с хронометрически инвариантными представителями тензора энергии — импульса электромагнитного поля следующими соотношениями:
р = J- (Ь» + d% A2 = bmnhmhn, d2 = bmndmdn, (12.59)
Ji = г)imndmhn, (12.60)
Uii = pbij - (hlh? + d4j). (12.61)
Для того чтобы электромагнитное поле F^ было изотропным, т. е. чтобы оно удовлетворяло соотношениям
F^Fv" = 0, F ^ F^ = 0, или, в хронометрически инвариантной форме:
Ь = A1 Ьт dm = 0, необходимо и достаточно выполнение условия [211]
/ = р (р = WliJiJhY (12.62)
Из (12.62) следует, что сопутствующая «массе» система отсчета, в которой Jx = 0, не может быть осуществлена в изотропном электромагнитном поле; поэтому в дальней-
154 шем мы будем считать электромагнитное поле неизотропным.
Тензор Xlk для электромагнитного поля принимает
вид
Xik = (Kik + Abifc) + KUi1s9 (12.63)
откуда следует, что
*dXik = - Vd (hV + dW). (12.64)
Выясним, для каких неизотропных электромагнитных полей тензор Xlk стационарен. Уравнения Максвелла в хронометрически инвариантной форме имеют вид
єітп (*Vm - Fn) (hn Yb) = *д (dl Yb),
eimn (*Vm _ pm) {dn Yb) =-*d (A1 Yb),
(12.65)
*Vmdm = 2 hmQm, mVJim = 2 dmQm.
Из условия Jt=О следует коллинеарность векторов HiHdi:
<Г = Xfei. (12.66)
Полагая *ddl = *dh% = 0 и учитывая (12.66), из уравнений (12.65) получаем:
*dmlK = *dnlhm- (12.67)
тогда
hn = б (Xі) *дпЪ dn = % (Xі) а Й *дп%. (12.68)
Но всякий вектор Zf, пропорциональный градиенту, удовлетворяет уравнению вида
VVA] = 0. (12.69)
Таким образом, гравитационно-инерциальные волны Xlk в неизотропном электромагнитном поле отсутствуют, если хронометрически инвариантные векторы напряженности электрического и магнитного полей удовлетворяют условию (12.69).
Наконец, рассмотрим случай, когда не выполнено третье из условий (12.39), т. е. когда система отсчета деформируется, свободно падая и не вращаясь; такая
155 система называется полугеодезической (синхронной):
F'= Of Aik = 0, Dik-=HO. (12.70)
Трехмерные тензоры (12.13) в такой системе отсчета имеют, согласно (12.15) — (12.17), вид
Xij = - DDii + D{ Djk + (Kij + Abij) +
+ JL(pbli + 2Uij — Ub% (12.71)
yijfr = _ (12.72)
zmj = Di*Di3 _ дії _ Km (12.73)
и, вообще говоря, нестационарны.
Перейдем теперь к случаю (в), когда не выполняются два из условий (12.39). Пусть система отсчета ускоренно движется и вращается, но не деформируется:
Я =M, Aik Ф 0, Dift-O. (12.74)
Тогда тензоры (12.13) приобретут следующий вид:
Xii = 3Ai.) Aki + (.Kii + ЛVі) + (рIii + 2Uii - JJbii),
(12.75)
Yijk = mYjAilc - + 2AiiFk, (12.76)
Zihli = AiltAli - AilAki + 2AiiAkl — Kmi. (12.77)
Используя тождества
'дАл + *dtiFk] = 0 (12.78)
и принимая во внимание, что в не деформирующейся системе отсчета *dAih = *dAik, приходим на основании (12.75) к выводу, что нестационарность Xik обусловлена вихревым характером поля F1 и нестационарностью хронометрически инвариантных представителей тензора энергии — импульса. Аналогично из (12.76) и (12.77) ясно, что нестационарность Yijk обусловлена вихревым характером и нестационарностью поля F11 а нестационарность Ziklj обусловлена только вихревым характером поля Fi. Таким образом, для случая вихревого поля (*VffeFi] =/= 0) система отсчета типа (12.74) не исключает существования гравитационно-инерциальных волн всех трех хронометрически инвариантных представителей тензора Римана.
156 Напротив, если поле Fi является безвихревым, * VikFi] = = 0, то из (12.76) следует стационарность ZiklK Тензор Yiik при этом, вообще говоря, нестационарен, так как
*dYijH = 2Aji *dF]i ф 0. (12.79)
Тензор Xik может быть нестационарным только при Тар ф 0. В этом последнем случае уравнения законов сохранения в системе отсчета (12.74) приводят к условиям: Ji ф O9 *др Ф 0, в отличие от случая (12.39).
Условие Ji Ф 0 означает, что данная система отсчета может существовать не только в неизотропном, но и в изотропном электромагнитном поле. Пусть она сопутствует среде. Тогда в формуле (12.50) будет Uik = pbik и
