Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(11.3)
A03 — Ліз = ^23 = 0.
R11 = R12 = R 22 = Дзз = 0
(11.4)
являются независимыми, одно уравнение
119 удовлетворяется вследствие (11.4), а компоненты R02 и R001 в силу тождества Бианки, удовлетворяют соотношениям
1 = 0, №о),1 = 0, (11.5)
т. е. не содержат членов выше второго порядка по 1 Ir.
Система четырех уравнений (11.4) для четырех неизвестных ?, 7, A1 В («основные уравнения», по терминологии Бонди) принадлежит к группе уравнений Rij = О, определяющих, как мы видели в гл. 2, поведение решения в окрестности начальной гиперповерхности S в зависимости от начальных данных на ней. Система основных уравнений обладает следующим замечательным свойством: она не содержит вторых производных типа gtjt00, а из производных типа gjk9oi содержит лишь одну, yi01. Это означает, что задание функции у (г, 0, и) на начальной гиперповерхности и = const,
Y (г, 0) = V (г> 0» и) Iu=COTlSt
определяет не только сами функции 7, ?, А и B1 но и производную Yf о, т. е. определяет поведение решения в окрестности гиперповерхности и = const с точностью до произвола в выборе функций интегрирования. Поскольку уравнения содержат только производные по г от искомых функций, то пять функций интегрирования будут зависеть только от координат и и 0. Одну из них следует положить равной нулю, чтобы удовлетворить требованию регулярности метрики при больших г; еще одна функция устраняется преобразованием координат, сохраняющим вид метрики. В результате разложение метрики в ряд по степеням 1 /г,
У = с (щ 0)/r + С,о (и, 0)/ Г2 + ? = -C2Mr2 + ..., (11.6)
U = —jpr (Cf2 + 2С ctg 0) +
+ -Trlf (и, 0) + 3CCy2 + 4С2 ctg 0] + ..., У = г + G (U1 0) + ...,
определяется тремя функциями интегрирования — C1F и G. Поскольку эти функции связаны двумя дополнительными
120 соотношениями (11.5):
GiO = 4- (с.м + Ctg 0 - 2С),0 - (C70)2, (11.7) - 3^,0 = G2 + 3 CCj02 + 4СС,0 Ctg 0 + Ci0Ciaf (11.8)
то независимой можно считать только одну из них, например С (и, 0). Таким образом, значение С (и, 0) и ее производной С,0 по «запаздывающему времени» и на гиперповерхности и = a = const полностью определяет решение в окрестности гиперповерхности, т. е. в некотором интервале (a ^ и ^ Ь). Тем самым всякое необратимое изменение системы источников определяется величиной
С,о = ^rC(U1Q), (11.9)
заключающей в себе всю информацию о поведении системы с изменением и. Функция С, о называется функцией информации х) системы [171]. Важнейшая роль функции информации состоит в том, что она определяет долю массы системы, уносимую гравитационным излучением.
Пусть система источников стационарна все время до момента и = а и после периода нестационарности вновь приходит в стационарное состояние в момент и = Ь. Определение функции информации позволяет найти массу, теряемую системой в течение интервала времени Стационарным полем, отвечающим аксиально симметричной метрике (11.3), является гравитационное поле, описываемое метрикой Вейля (см. Синг [172]):
ds2 = ехр (2г|) )dt2 —
- ехр (- 2 ф)Гехр (2а) (ф2 + dz2) + р2 ЙФ2]. (11.10)
Разлагая функцию г|э в ряд по мультипольным моментам системы источников и записывая метрику (11.10) в координатах Бонди и, г, 0, ф, находим связь функций G ж F с мультипольными моментами аксиально симметричной системы:
G = 2M, ^ = 2Dsin0. (11.11)
Здесь M — масса системы источников («монопольный
1J Часто употребляют также название «функция новостей
Бонди» (news function).
121 момент») и D — ее дипольный момент. Возвращаясь к общей метрике (11.3), мы можем определить массу системы источников как среднее от G (и, 8) по углу:
те
M(U) = ^G(и, 0)sin0dB. (11.12)
о
Интегрируя затем уравнение связи (11.7), получаем выражение для убыли массы со временем через функцию информации:
7t
85 Sr = —4" S (Wsin 0 ^0 < о- (11.13)
О
Формула (11.13) означает, что масса изолированной аксиально симметричной системы источников постоянна в том и только в том случае, когда функция информации системы равна нулю. В противном случае масса системы монотонно уменьшается.
В связи с этим можно сформулировать следующий критерий гравитационного излучения для аксиально симметричных изолированных систем:
Критерий Бонди. Поле тяготения изолированной аксиально симметричной системы источников, определяемое метрикой (11.1), (11.3), является полем гравитационного излучения, если функция информации (11.9) системы отлична от нуля. В противном случае гравитационное излучение отсутствует 1).
1J Заметим, что обращение в нуль функции информации не означает стационарности системы. Так, из соотношения (11.8) следует, что при С,о = 0 и G12 Ф 0 величина F,0 отлична от нуля, что, вследствие второй формулы (11.11), означает линейное увеличение дипольного момента системы со временем. Вопрос о том, какой вклад в энергию и импульс, теряемые изолированной системой, вносят монопольный и дипольный члены разложения потенциалов в ряд, не является тривиальным и составляет предмет специального исследования. В рамках линейного приближения эйнштейновской теории тяготения этот вопрос недавно был рассмотрен Папапетру [173]. Оказалось, что возникающие формально эффективные монопольный и дипольный члены разложения в действительности сводятся к квадрупольному моменту системы источников (квадрупольные моменты так называемых «электрического» и «магнитного» типов). В то же время квадрупольный момент системы нельзя рассматривать как эффективный момент, сводимый к мультипольним моментам более высоких порядков.
