Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Потребовав, чтобы координатные линии ф (и, г, 0 = = const) являлись траекториями некоторого нормального поля векторов Киллинга, получим как частный случай аксиально симметричную метрику Бонди, определяемую условиями
r = б, и3 = 0, dgaf>!dф = 0. (11.30)
4. Геодезические лучи. Теорема расщепления
Одним из предположений, при которых была получена метрика Сакса (11.29), было существование в ^конгруэнции изотропных геодезических (называемых геодезическими лучами). В связи с этим рассмотрим типы полей тяготения, допускающие геодезические лучи.
Как мы уже отмечали в гл. 8, всякое пустое пространство — время F4 допускает по крайней мере одно и не более чем четыре изотропных векторных поля Za (векторы Дебеве), удовлетворяющих алгебраическим соотношениям (3.29) — (3.32), где вместо тензора Вейля в нашем случае будет фигурировать сам тензор Римана Ra&yb-
Векторы Дебеве, вообще говоря, не являются направляющими векторами конгруэнций изотропных геодезических. Однако, как показал Сакс [110], все алгебраически специальные пустые пространства F4, т. е. пространства типов I), II, N и III по Петрову, допускают геодезическое изотропное векторное поле Za:
ZaZfa = O, (11.31)
удовлетворяющее условию (3.31), а потому и заведомо условию (3.32). При этом соответствующая конгруэнция гео-
5 в. Д. Захаров
129 дезических лучей обладает равной нулю дисторсией (теорема Гольдберга — Сакса, см. [184, 185]):
252=fas** -4-(?2=(11-32)
Если существует решение уравнения эйконала (2.22), то условие (11.32) означает отсутствие искажения формы тени, отбрасываемой на экран непрозрачным плоским предметом, ориентированным ортогонально лучам. В зависимости от того, равно нулю (или не равно нулю) растяжение конгруэнции
(11.33)
фронт волны отвечает плоским (или сферическим) гравитационным волнам *).
Это наводит на мысль, что алгебраически специальные поля отвечают гравитационным волнам вдали от системы источников, в то время как алгебраически общие поля представляют гравитационное поле вблизи источников, «возмущающее» фронт гравитационной волны. Для математического обоснования этого вывода рассмотрим асимптотическое поведение тензора Римана асимптотически плоского пространства — времени, описываемого метрикой Сакса.
Предполагая, что функции, входящие в метрику Сакса (11.29), бесконечно дифференцируемы по г (что, вообще говоря, как мы увидим, не обязательно), и разлагая их в ряд Тейлора по степеням параметра г"1, можно прямым вычислением с учетом уравнений поля (2.2) убедиться, что
*) Если пространство — время допускает изотропную геодезическую конгруэнцию с отличной от нуля дисторсией, то соответствующее поле гравитационного излучения интерпретируется как поле цилиндрических волн. Примерами аксиально симметричных полей тяготения такого типа с бесконечным линейным распределением источников являются решение Эйнштейна — Розена [187], а также обобщающие его решения Иордана — Элерса [188] и Ком-панейца [189]. В отличие от рассмотренных ранее полей плоских и сферических волн, они принадлежат к алгебраически общему типу
I и, подобно гравитационным полям островных источников (Бонди и Сакса), допускают расщепление на члены типа Nj II и I (см. работы Стэхеля [188] и Мардера [190—192]). Специальному рассмотрению волновых свойств нестационарных аксиально симметричных полей тяготения посвящены исследования Вебера — Уилера [193] и Кришны [194—-196],
130 все Фа в (11.15) отличны от нуля, причем разложения их в ряды начинаются с членов разных порядков: от г-1 до г~ъ. Принимая во внимание общие формулы Ньюмэна (11.16)— (11.17) для асимптотики Фа, можно прийти к следующему расщеплению тензора Римана («теорема о расщеплении» Сакса [110]):
R = oNr-1 +оШг-2 + ollr-3 + 01г-4 + I'H> + ... (11.34)
Здесь оN7 01И, ... означают, соответственно, тензоры с алгебраической структурой тензоров Римана типов N, III и т. д. (индексы для краткости опущены), а индекс 0 слева означает, что эти тензоры ковариантно постоянны вдоль соответствующих геодезических лучей. В четвертом и пятом членах I' и 01 различаются тем, что тензор I' не обладает, а 01 обладает геодезическими лучами. При этом сумма членов до некоторого данного порядка включительно оказывается тензором того же алгебраического типа, что и ее последний член. Коэффициент 0N пропорционален Cf00j где Cfо — функция, переходящая при условиях (11.30) в функцию информации Бонди. В частности, при Cf0=O для метрики Бонди 0N = 0III = 0И = 0, и мы приходим к стационарной аксиально симметричной метрике Вейля (11.10).
На основании теоремы расщепления, гравитационным полям источников островного типа можно дать следующую алгебраическую интерпретацию. Поле, создаваемое материальной системой в окружающем ее пустом пространстве, принадлежит к первому типу (I или D) по Петрову. Если си-тема излучает, то на расстояниях, значительно превышающих размеры самой системы и длину волны ее излучения (т. е. в волновой зоне), гравитационное поле будет приближенно типа N. Иными словами, с точки зрения наблюдателя, который покоится на большом расстоянии (в фиксированном направлении) относительно излучающей системы, в тензоре Римана будут превалировать члены типа N7 а для наблюдателя, удаление крторого от системы мало по сравнению с размерами самой системы и длиной волны ее излучения (ближняя зона), в тензоре Римана будут превалировать члены типа I или D, в зависимости от характера волнового фронта. Наконец, на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы источников, но малых по сравнению с длиной волны ее излучения (переходная зона), гравитационное поле описывается тензором Римана типа II или III, в зависимости от характера распределения источников.
