Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров В.Д. -> "Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна " -> 43

Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.

Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна — М.: Наука, 1972. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionniyvolni1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 68 >> Следующая


5* 131 Как показали Сакс [148, 185] и Персидес [197], при некоторых специальных предположениях (разложимость метрики в бесконечный ряд по г-1, евклидова асимптотика на бесконечности) расщепление тензора Римана (11.34) осуществимо для произвольных гравитационных полей в пустом пространстве, обладающих геодезическими лучами. Возможность этого гарантируется полученными выше условиями (11.16) — (11.17) , определяющими асимптотику тетрадных компонент тензора Римана. В случаях, когда пространство — время не допускает конгруэнции геодезических лучей, Леман [198] и Гольдберг [199] сформулировали и доказали более слабое утверждение: в этих случаях одно из изотропных векторных полей Дебеве является асимптотически геодезическим, т. е.

Za;?Z? = 0(r-») 2). (11.35)

Если предположить, что расщепление (11.34) для этого случая сохраняется, то вектор Za уже не будет направляющим для геодезического луча в пространствах, соответствующих тензорам разложения N, III и т. д. Однако при этом должна существовать конгруэнция изотропных геодезических с касательным вектором Va3 являющихся асимптотами траекторий вектора Iа. Тогда можно ожидать, что конгруэнция Vа представляет геодезические лучи только в пространстве — времени, отвечающем первым четырем членам расщепления (11.34):

Io1 l'? ІY = О (r-% (11.36)

т. е. является вектором Дебеве асимптотически.

Наконец, если векторное поле Га удовлетворяет условию (11.36) и, кроме того, является градиентным, Za'= Ф,а> то> как показали Ньюмэн и Пенроуз [174], расщепление (11.34) всегда имеет место.

5. Общая алгебраическая структура тензора Римана

Формула расщепления Сакса (11.34), очевидно, не является общековариантной, так как параметр г играет роль координатного расстояния вдоль геодезической. Однако алгебраическая классификация канонических типов тензора Римана позволяет сформулировать разбиение тензора Римана алгебраически общей структуры общековариант-ным образом.

132 Для этой цели мы воспользуемся формализмом Ньюмэ-на — Пенроуза. В изотропной комплексной тетраде

тР, векторы которой удовлетворяют соотношениям

ZaZa = YIqlUci = TntxTna- = 1аТПа = U0JUCL = О,

7а- а Г (11'37)

IaUa = тат* = 1, определим три простых бивектора

Fa? = 2 Z[a%], CZa? = 2num?b Ma? = 2Z[arc?] + 2m[am?J.

Тогда, как показали Каммерер [200] и Сзекерес [134], всем возможным алгебраическим типам тензора Римана в пустоте отвечает следующая общая комбинация:

tfa?v* + 1 = C1FapFvB + C2 (FapM^5 +

+ MapFv5) +C3 (MapMv5 + CZapFv5 +FapCZv5) +

+ C4 (CZapMv5 +MapCZv5) +C5CZwiCZv5, (11.39)

где C1, ..., C5 — произвольные скаляры.

Используя канонический вид матрицы || ДаЬ|| тензора Римана в бивекторном пространстве можно показать, что каждому типу поля тяготения (гл. 3) отвечает разложение тензора Римана на бивекторы (11.38), отвечающее тому или иному частному случаю выражения (11.39), где какие-то из скаляров C1, ..., C5 (не более четырех) равны нулю. Задача выражения тензора Римана в случае пустых пространств (а в общем случае — тензора Вейля) через бивекторы для всех типов полей тяготения была решена Дебеве [81]. Сопоставляя результаты Дебеве с выражением (11.39), можно прийти к следующим выводам. Пусть данное поле тяготения — алгебраически специальное. Тогда Ca = C5= 0, т. е. разложение (11.39), вообще говоря, состоит лишь из первых трех членов; в этом случае векторное поле Za определяет геодезические лучи. Пусть, кроме того, C3 = 0. Тогда тензор Римана принадлежит к типу III. Для случая C2 = C3 = C4 = C5 = 0 поле тяготения имеет тип N с вектором Za в качестве вектора Дебеве. Наконец, условие C3 =j= 0 характеризует поля типов II и D • Сопоставляя выражение (11.39) с формулой расщепления Сакса (11.34), мы видим, что каждый из пяти первых членов асимптотического разложения тензора Римана в ряд

133 по г-і обладает алгебраической структурой соответствующего члена в выражении (11.39). Поэтому представляет интерес исследовать асимптотическое поведение коэффициентов C1, ..., C5 в (11.39). Для этого на геодезическом луче с касательным вектором Za выберем канонический параметр г. Если считать, что условие г —> оо всегда отвечает асимптотическому значению тензора Римана, то в общем случае нет необходимости предполагать пространство — время асимптотически плоским. Более того, вместо жесткого условия Сакса о бесконечной дифференцируемости метрики по параметру г ограничимся лишь предположением о том, что компоненты тензора Римана, а также векторов Zoc, ma, raa являются функциями координат класса C6 (что отвечает нашей задаче исследования асимптотического поведения первых пяти членов разложения в ряд по г-1).

Подставим выражение (11.39) в тождества Бианки и будем рассматривать последние как уравнения относительно функций C1, ..., C5. Исследуя главные (по порядку малости) члены решения этих уравнений, найдем, что при г —>¦ оо коэффициенты Cn в (11.39), N = 1, 2, 3, 4, 5, стремятся к нулю, соответственно, как 1 lrN.

Таким образом теорема расщепления Сакса будет доказана при гораздо более общих предположениях. Строгое доказательство такого рода впервые дал Каммерер [200]; он предполагал гладкость класса С5, так что его доказательство охватывает лишь первые четыре члена в (11.39). Это соответствует тому, что лишь для первых четырех членов в (11.39) существуют геодезические лучи. Результат Каммерера может быть обобщен и на пятый член, если воспользоваться, например, соображениями об асимптотически геодезических конгруэнциях.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed