Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
= dx°2 + glldxi2 + g22dx2 2 + g33dx3 2, 2
0.. - 0.. IT^ -7*2 \ * /
bii — ьгг Vх » d^ ? d^ )•
Можно доказать, что пространство Эйнштейна (3.7) с метрикой типа (12.42) всегда является плоским (см. [65], стр. 390).
Рассмотрим теперь случай, когда второе из условий (12.39) не выполняется:
Fi 0, Aik ф 0, JDlfc = Of (12.43)
т. е. система отсчета вращается, при этом свободно падая и не деформируясь. Первое условие (12.43) позволяет выбрать
1J Здесь и в дальнейшем, говоря о свободном падении, вращении и деформации системы отсчета, мы имеем в виду соответствующие движения трехмерного пространства данной системы отсчета
относительно локально сопутствующей ей геодезической системы.
50 параметризацию линий времени хь так, чтобы выполнялись условия [205]:
goo = 1, *dg0i = 0.
Можно показать, что в системе отсчета, обладающей свойствами (12.43), все gik также стационарны. Отсюда вытекает, что метрика ga? пространства — времени F4 является стационарной, а следовательно, стационарны и величины (12.13). Таким образом, система отсчета типа (12.43) не допускает гравитационно-инерциальных волн. Примером метрики, отвечающей этому случаю, может служить известная метрика Гёделя [209].
Рассмотрим случай, когда нарушается первое из условий (12.39):
Fi ф 0, Aik = 0, Dik = 0, (12.44)
т. е. система отсчета ускоренно движется, не вращаясь и не деформируясь. Тогда метрику пространства — времени можно привести к виду
ds2 = goo я3) dx°2 + gndx12 + g22dx2 2+ g33 dx3 2,
gn = gu{x\x2,x*). (12-45)
Величины (12.13) в этой системе отсчета принимают вид Xij = («№ + 'WFi) - FiFji (12.46)
Yij* = 0, (12.47)
ZW= — Kiklj. (12.48)
В силу третьего условия (12.44) Ziklj оказывается стационарным, так что вопрос сводится к исследованию только волновых свойств Xij.
Используя хронометрически инвариантную форму уравнений поля, можно записать Xij в виде
X* = (Kij + Abij) + -у- (рbij + Wij - Ub% (12.49)
где А — космологическая постоянная.
Отсюда вытекает, что в пустоте волны Xij невозможны в силу стационарности этой «волновой функции», хотя четырехмерная метрика ga^ в этом случае, вообще говоря, нестационарна.
151 В общем случае (Гар =/= 0)из уравнений поля и законов сохранения следует, что в рассматриваемой системе отсчета плотность массы р не зависит от времени. Но тензор натяжений вообще говоря, нестационарен. Таким
образом, нестационарность Xх* в этом случае обусловлена нестационарностью тензора натяжений Ux\ так что вопрос об отсутствии волн в среде требует более детального анализа при каждом выборе Та$ в уравнениях поля.
Потребуем сначала, чтобы данная система отсчета сопутствовала среде. В этом случае тензор натяжений можно представить в виде
Ui' = pW — ?tf = p{0)W — a*', (12.50)
где ?1' — первая вязкрсть, проявляющаяся при анизотропной деформации, — вторая вязкость, проявляющаяся при изотропной деформации, р — истинное давление, Р(о) — равновесное давление, определяемое из уравнения состояния. Так как в сопутствующей системе отсчета при отсутствии деформации вязкость среды себя не проявляет, то Uij = рЪг* и, следовательно, р == р^у
Если среда бароклинна, т. е. если р0 = р0(р,т), где т — абсолютная температура, то
•дХЧ = - -у *д% W9 (12.51)
так что ХЧ вообще говоря, нестационарны. В случае ба-ротропной среды, для которой р(о) = р(о) (р), рассматриваемая система отсчета не допускает гравитационно-инер-циальных волн в силу стационарности тензора натяжений. Покажем, что в случае баротропной среды стационарен также и четырехмерный метрический тензор ga?.
При сделанных нами предположениях уравнения релятивистских законов сохранения принимают вид
•op = 0, (12.52)
-^ydip=-дг In Yfa. (12.53)
Здесь уравнение (12.53) представляет собой хронометрически инвариантный аналог уравнения равновесия в гидродинамике, обобщенного на случай гравитационного поля [210]. Совместно уравнения (12.52) — (12.53)
152 приводят к следующему выражению для g00:
goo = ехр 2 [Т (х°) + R (х4)], (12.54)
где R и T — произвольные функции своих аргументов С помощью преобразования координат
df0 = [ехр T (я0)] dx°, dz1 = Ar1 (12.55) метрика приводится к стационарной форме
ds* = ехр [2R (2і)] dx0 2 + ~gn dx>2 + i22 dr}2 + g33 dx3 2,
(12.56)
Sii — Sii (^1? ^2? ^3)'
(Примером такой системы отсчета может служить система, в которой обычно записывается метрика Шварцшильда.) Основной вывод из рассмотренного случая состоит в том, что если среда баротропна, то система отсчета, сопутствующая ей, не допускает существования гравитационно-инерциальных волн.
Мы рассмотрели случай произвольного тензора энергии — импульса при единственном предположении, что система отсчета сопутствует среде. Представляют, однако, интерес некоторые варианты тензора энергии — импульса, для которых это предположение не выполняется. Первым примером такого рода является тензор энергии — импульса идеальной жидкости:
Tafi = (Р ~ PSafi-
Из уравнений поля следует, что соответствующая система отсчета сопутствует массе, т. е. J1 = 0. Опираясь на хронометрически инвариантную запись уравнений поля, можно показать, что в этом случае система отсчета должна сопутствовать и среде. Это означает, что,"как и в предыдущем случае, в идеальной жидкости гравитационно-инер-циальные волны не могут существовать, если среда баротропна.
