Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров В.Д. -> "Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна " -> 46

Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.

Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна — М.: Наука, 1972. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionniyvolni1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 68 >> Следующая


2. Хронометрически инвариантное определение гравитационно-пнерциальных волн

Итак, мировой тензор Римана R^b распадается на три хронометрически инвариантный трехмерных тензора (12.13), выражающихся, в свою очередь, через гравита-ционно-инерциальные физические характеристики трехмерного пространства, сопутствующего выбранному телу отсчета, (12.5)— (12.7) и (12.10). Определение гравитаци-онно-инерциальных волн мы свяжем с четырьмя гравита-ционно-инерциальными характеристиками (12.5)— (12.7), (12.10), а также с величинами (12.13), выражающимися через них по формулам (12.15) — (12.17).

Хронометрически инвариантное определение оператора Даламбера в общей теории относительности, реализующее идею Зельманова, было сформулировано в работе [94].

Хронометрически инвариантный критерий существования гравитационно-инерциалъных волн состоит в требовании, чтобы трехмерные хронометрически инвариантные величины: вектор Fi, тензоры Dik, Aik, Kklij и составленные из них скаляры, а также выражающиеся через них хронометрически инвариантные тензоры Xij, Yijk, Zklij удовлетворяли уравнениям вида

*? P = Q. (12.20)

Здесь введены обозначения:

*? = *V2 - ±- *д*д, *V2 = Ь» 'Vi *Vfc, (12.21)

так что *? есть хронометрически инвариантный простран-ртвенно-ковариантный волновой оцератор Даламбера, а —

141 скалярная функция координат. Предполагается, ^to в Q не входят явно вторые производные от искомой функции Р. Последнюю мы будем называть по традиции волновой функцией в смысле уравнения (12.20). Роль волновой функции P будут играть различные хронометрически инвариантные величины той или иной трехмерно-тензорной природы. Исследование хронометрически инвариантного волнового критерия сводится к анализу его выполнимости для различных хронометрически инвариантных характеристик системы отсчета и гравитационного поля по отношению к ней. В соответствии с этим следует различать гравитационно-инерциальные волны сил Fi, деформаций Dik, кривизны KkHj и т. д.

В работе [94] этот критерий был применен для анализа ряда известных решений уравнений Эйнштейна в пустоте. Было показано, что он выполняется для всех исследованных решений типа N по Петрову: решений Переса [160], Такено [153, 163], Петрова [65] и др., но не удовлетворяется для решений типа «цилиндрических волн» Эйнштейна — Розена [187] и Компанейца [189], не принадлежащих к типу N. Заметим, что последние два решения, принадлежащие к типу I по Петрову, не удовлетворяют также ни одному из рассмотренных нами в предыдущих главах обще-ковариантных критериев гравитационных волн (Лихнеровича, Беля, Пирани, Зельманова и др.).

Рассмотрим волновые уравнения вида (12.20) для полей тяготения, отвечающих некоторым точным решениям уравнений Эйнштейна в пустоте (2.2).

Решение Переса (9.30) — (9.31) принадлежит к типу N по Петрову. Для упрощения выкладок наложим на функцию / в этом решении дополнительное условие 1J /,і == /»2 =rO^ в силу которого единственное полевое уравнение (9.31) будет удовлетворяться тождественно.

г) Фактически это условие означает, что мы ограничиваемся плоским пространством — временем, так как отличные от нуля существенные компоненты тензора Римана для метрики (9.30) имеют вид

Я 3113 = ^3110 = #0110 = Лоно = All» Л3223 = # 3220 = #()220 = А 22» i?3123 = -R3120 — #0123 = #0120 — А12-

Наш случай, следовательно, будет отвечать только инерциальным волнам. Более общий случай гравитациоино-инерциальных волн в пространстве—времени с #a?v5 Ф 0 мы рассмотрим ниже на примере других точных решений уравнений Эйнштейна,

142 Используя формулы (12.3), имеем для произвольной функции P аргумента (х° +#3)-

1 !

*дР = yrZT2f Р>*> *Р>3 = T=TfР

*д*дР = ^yf IPtоо (1 - 2/) + /,зР.з], W3^ = (пг^і [Лas (1 - 2/) + 2/,.Р>8].

Выражая отсюда Р>00 через *d*dP, аР,33 — через *д3*д3Р, и замечая, что

*v*p ^ь* CdldkP-^djP),

приводим в данной системе отсчета обычное волновое уравнение для функции P (х° -\-х3)

Pi 33 Р,00 = 0

к искомому виду

(*V2 __ HC9HC9) р = 0. (12.22)

Так как трехмерные скаляры

(Аз)2 п _ /,3

FiFi= /л "'' D =

(1-2/)3' - (1 — 2/)3^

для этой метрикитакже зависят только от аргумента X0 -J- х3 (Aih = 0 при = /,2=0), то они удовлетворяют уравнению (12.22), Tk е. являются решениями хронометрически инвариантного уравнения (12.20) при Q = 0, а = 1.

Получим теперь в данной системе отсчета волновые уравнения для вектора гравитационно-инерциальной силы F1 и тензора скоростей деформации Dih. Поле вектора Fi имеет вид

F1= 0, F2 = 0, F =--•

(1-2/)2 >

вычисляя величину Fi, найдем вид правой части уравнения (12.20) при условии, что в нее не входят производные выше первого порядка от Fi. Если такие производные появляются справа, то уравнение, очевидно, не является волновым; такой случай имеет место, например, для метрик Эйнштейна — Розена и Компанейца.

143 Результаты вычислений для метрики Переса приводят к следующим хронометрически инвариантным пространст-венно-ковариантным уравнениям:

lDfi=- 3Fi CV^ + 4" FjPj)» (12.23) Dij - - 2Dij (3*dD + 2DklD**). (12.24)
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed