Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, этот класс решений уравнений Эйнштейна — Максвелла описывает самосогласованную систему свободных электромагнитных и гравитационных волн в пространстве — времени без вещества [91]. Он включает в себя ряд известных волновых решений уравнений Эйнштейна — Максвелла. К ним относятся, например, обобщения решений Переса и Бонди — Пирани — Робинсона на случай непустого пространства — времени, известные под названием «полей типов P и Н» (по терминологии Такено [102, 168]).
Некоторые частные случаи таких решений, удовлетворяющие не только критерию Лихнеровича, но и критерию Зельманова, мы уже рассмотрели в гл. 7. Однако следует заметить, что в общем случае эти решения уравнений Эйнштейна—Максвелла описывают самосогласованную систему электромагнитного и гравитационного полей (непустое пространство — время), когда гравитационное поле удовлетворяет критерию Лихнеровича, но, вообще говоря, не удовлетворяет критерию Зельманова. Последнее обстоятельство представляет интерес для выяснения вопроса об общей связи этих двух критериев в случае непустого пространства — времени.
Так как описанный нами класс решений удовлетворяет условиям Лихнеровича (6.10) — (6.11), то, согласно общей теореме, доказанной в п. 3 гл. 6, они принадлежат к вырожденному типу 2 полей тяготения общего вида.
Как было показано в гл. 2, характеристические многообразия, а также бихарактеристики уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла совпадают. Следовательно,траектории распространения плоской гравитационной волны, определяемые абсолютно параллельным векторным полем Za, одновременно являются траекториями лучей света. В то же время из совпадения фронтов гравитационной и электромагнитных волн вытекает, что электромагнитная волна в пространстве — времени, допускающем абсолютно
117 параллельное векторное поле, также является плоской по Кундту.
Можно показать [169, 170], что описанный класс решений всегда допускает группу движений с особым оператором [106], траектории которого совпадают с траекториями распространения волны (лучами). Кроме того, если данная группа движений является интранзитивной [106], то ее (всегда изотропная) поверхность транзитивности принадлежит фронту волны либо совпадает с ним.
ГЛАВА 11
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛЕЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
1. Гравитационное излучение аксиально симметричных изолированных систем.
Функция информации Бонди
Для изучения асимптотического поведения полей гравитационного излучения удобно воспользоваться методом Бонди — Сакса, основанным на разложении величин, характеризующих поле, в ряд по степеням 1 /г, где г — параметр, играющий роль расстояния от изолированной системы источников. Предполагая, что такое разложение возможно, мы выбираем систему координат так, чтобы, во-первых, максимально упростить вид членов разложения, доминирующих при больших значениях г, и, во-вторых, выявить их волновой характер.
Бонди [20, 171] рассмотрел задачу излучения гравитационных волн аксиально симметричной системой тел, введя, в качестве исходной, следующую метрику пространства — времени:
ds2 =[g00 dx0 2 + 2g01dx*dx1+ 2g0idx4x* -
— g22^2 2 — ?зз dx9 2- (11.1)
Вид метрики (11.1) был усмотрен из следующей физической аналогии с моделью излучения в плоском пространстве — времени.
Пусть луч света выходит из некоторой точки О, окруженной малой сферой, на которой заданы угловые полярные координаты ф и 0. Введем временноподобную координату
і 18 U1 аналогичную «запаздывающему времени» обычной теории, и определим координаты U1 0, ф произвольного события E как значения соответствующих координат точки, в которой луч OE пересекает сферу. Поскольку вдоль луча координаты U1 0, ф постоянны, то траекторию луча света в пространстве — времени можно задать как координатную линию четвертой координаты г. Определенный таким образом вдоль траектории луча аффинный параметр г будем в дальнейшем интерпретировать как расстояние от источника О. В плоском пространстве — времени, выбрав и = t — г в качестве временноподобной координаты, можно представить метрику в виде
ds2 = du2 + 2 du dr - г2 (d02 + sin2 0 гіф2). (11.2)
Для асимптотически плоского риманова пространства — времени непосредственным обобщением этой метрики и является метрика (11.1). Более того, выбор системы координат типа (И.2) позволил Бонди устранить в разложении тензора Римана так называемый «логарифмический член» вида (In г)/г, появление которого Бонди считал недостатком подхода. В задаче об излучении аксиально симметричной системы Бонди задался следующим метрическим тензором в интервале (11.1):
g22 = — г2 exp 2у, g33 = —г2 sin2 0 ехр (— 2у).
Здесь ?, у, А и В — функции координат г, 0, и, не зависящие от ф. В выбранной таким образом системе координат аксиально симметричная метрика (11.1), (11.3), как мы увидим ниже, не содержит логарифмического члена в разложении по 1 /г.
Из десяти уравнений поля (2.2) для метрики (11.3) три удовлетворяются тождественно:
Из оставшихся семи уравнений четыре уравнения
goo = r-\B ехр 2? - г2А2 ехр 2Уі g01 = ехр 2?, g02 = Ar2 ехр 2y1
