Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
W-1 (Q2 = o, IUH= 0.
J[a;?] = О,
(9.1)
(9.2)
(9.3)
100величину edr, причем скаляры е, сои а имеют вид [71, 136]
е = \ I?«, ^ = і Zle. Р]Г: б» = І 1{а. ?)r ? - в2-
Интерпретация «оптических скаляров» е, сои а построена на основе следующей гидродинамической аналогии. Пусть иа — поле временноподобного единичного вектора, которым мы зададим 4-скорость идеальной жидкости. Тогда кинематика бесконечно малого элемента объема жидкости описывается величинами, образующими следующее разложение ковариантной производной 4-скорости:
Wct; ? = ®a? + Goc? + 4" 8Tla? '
Здесь
T]a? = — ga? + UaU?,
CLa = ua;?u& — так называемый «вектор 4-ускорения» (равный нулю для геодезической конгруэнции), = Ua;0, а тензоры1
COa? = 4[a4?]M«; т, Sa? = %%)U°'. *
представляют собой соответственно тензор угловой скорости вращения и тензор скоростей деформаций рассматриваемого элемента объема относительно геодезической системы координат (системы Ферми), заданной вдоль траекторий вектора іга. Скаляры вращения 3 и сдвига (дисторсии) G траекторий Ua определяются через тензоры COa? И aa?l
СО2 = у CDa?CDa?, O2 = у <3a?oa?.
Как показал Кундт [137], условие со=0 для изотропной геодезической конгруэнции не только необходимо, но и достаточно для выполнения условия (9.1), т. е. задание изотропной конгруэнции геодезических без вращения эквивалентно заданию поверхности волнового фронта.
Робинсон и Траутман [130] получили класс точных решений уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, описывающих сферические гравитационные волны и охватывающих, как показали Фостер и Ньюмэн [138], все алгебраически специальные поля тяготения, т. е. поля типов D,
101II1 JV и III по Петрову. Этот класс решений представляется метрикой
ds2 = 2 dx° dx1 +[К- 2 Hx1 —) dx°2 -
— Z12P"2 {[dx2 + <?,3<fc0]2 + [da;3 + <?.3^<>]a>, (9.4)
M = АГ(*°), P=P ж2, ж3), Q-Q (*0, x2, ж3), где функции H ті К определяются формулами
Й= P-1P50 + P (P-1^)l23 - Ptf (Р_1),23. К =P (Р,22 + P133) - (Р,2)2 - (Р,3)2.
В этой же системе координат фронт гравитационной волны выражается уравнением я0= const, а ортогональный к нему изотропный вектор Za имеет вид Za = oj, так что траектории распространения гравитационной волны (гравитационные лучи) совпадают с координатными линиями Xі.
Уравнения поля (2.2) относительно метрики (9.4) сводятся к двум соотношениям:
Q922 ~~ (?,33 0, .g
К,22 - Ki33 - 4P-2 (Miо - ШМ).
Первое из них позволяет преобразованием координат (сохраняющим вид метрики) обратить в нуль функцию Q1 так что в новой системе координат уравнения поля сводятся к единственному (второму) соотношению (9.5).
Исследуя метрику Робинсона — Траутмана (9.4) в системе координат, где Q = 0, Бартрум [135] показал, что она допускает обобщение на случай непустого пространства — времени, а именно, на случай, когда в пространстве имеется электромагнитное поле. При этом можно доказать, что электромагнитное поле является изотропным, т. е. оба инварианта (4.2) тензора Максвелла F^ обращаются в нуль.
Из компонент ?Vv для метрики Робинсона — Траутмана отличной от нуля оказывается лишь одна:
^oo - EVP2,
где
IE* = -А- ¦P2 (K22 - Ktзз) - 2М о + (QMIP) Pt0.
Бартрум, используя доказанную им ранее теорему [139] о дифференциальных свойствах волнового вектора
102Za, получил частное решение, описывающее самосогласованную систему сферических гравитационных и электромагнитных волн, распространяющихся вдоль общих траекторий — линий векторного поля Za:
ds2 = (2 — A) dr2 + Br2 (Лр2 + sin2qxZ02) —
-2(1 —A)drdt — AdP, (9.6)
где
А / M \7». п . Ф \«П 2г ,, 2М
Л = Ы (2tS-T) - —Г' 97
5 = (^-^ptg^-p, т» = const, M = ( ' )
п — целое число, асферические координаты г, ф, 0, t связаны с «декартовыми» координатами, в которых Q уже устранена, обычным преобразованием. Замечательно, что в пустом пространстве при т — т0 метрика (9.6) — (9.7) переходит в метрику Шварцшильда.
Примером поля тяготения, допускающего интерпретацию на языке сферических гравитационных волн, может служить также решение Керра — Шилда [140, 141] в пустом пространстве — времени:
(00)
= + (9.8)
Здесь Zli, — изотропное векторное поле: g^ Z^Zv = 0, от-
(оо)
куда вытекает также условие g^lH^ = 0, и обратно, а функция Н(ха) вместе с вектором Za удовлетворяет уравнениям поля
a{J?) + (H + 2Hs) Z(a; ?) - HgopIa., pZ?; a + \ blj? = 0, (9.9)
где введены обозначения:
aa = (Я -f- 2Нг\а - 2H - HIol, % , b = 2HH - ga?H- a?» є = -!- Zfa, H = IfxHtOL.
Из уравнений поля (9.9) следует [141], что вектор Za касателен к конгруэнции геодезических с нулевой дистор-сией: 0 = 0. Предположив, кроме того, что эта конгруэнция обладает равным нулю вращением, т. е. потребовав, чтобы вектор Iа был нормальным: Z[a;?] = 0, мы получаем
103пустое поле тяготения с гравитационными волнами, распространяющимися вдоль конгруэнции Za.
Для того чтобы это поле тяготения отвечало сферическим гравитационным волнам (т. е. чтобы удовлетворялось условие е ф 0), необходимо и достаточно, чтобы оно принадлежало к типам II или D по Петрову (Мае [142]). Если это условие имеет место, то метрика (9.8) принимает вид