Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = 2 йхЧх1 + А (х°) dx22 + 2D (х°) dx2dx3 +
+ B(x°)dz*2,
откуда вытекает, что она представляет собой частный случай метрики (10.1), если в последней выбрать E = Q = = F = 0, а функции A, Bi D считать зависящими только
ОТ XQ.
Наконец, частным же случаем (10.1) является и другое решение Петрова [65], представленное метрикой
для которой AB — D2 <0, AyB =^= 0, а из уравнений поля (2.2) единственным нетривиальным остается уравнение (10.3).
Естественно предположить, что произвол, с которым определен метрический тензор (10.1) пространств Эйнштейна, допускающих абсолютно параллельное векторное поле, в какой-то мере фиктивен, т. е. обусловлен выбором системы координат; в таком случае должны существовать допустимые преобразования 1J координат
сохраняющие вид метрики g^ (10.1) и векторного поля Iа ( = бі), которые позволяют упростить метрику (10.1) и, в частности, устранить некоторые из входящих в нее функций. Кроме того, само решение уравнений поля (2.2) определено формой (10.1) лишь с точностью до интегрирова-
1J Допустимыми мы называем преобразования, якобиан которых не обращается в нуль. Соответственно, произвольность функций х» ф и гр в (10.7) ограничена лишь этим дифференциальным условием: J = <р,2ф,з — і|>,2ф,з Ф 0.
(10.6)
X0 =
= afl + Х дЛ ^
X3 = г|) (?2, Sf39
(10.7)
114 ния четырех уравнений в частных производных второго порядка, что также значительно уменьшает число независимых произвольных функций, которые могут появиться в метрике (10.1). В этой связи целесообразно также попытаться проинтегрировать хотя бы некоторые из уравнений (10.2)- (10.3).
Обе задачи недавно были решены Кайгородовым и Пес-товым [166, 167], которые показали, что в новой системе координат (?а) компонентам g23, g 0з и ?зз можно придать значения
?23 = 0, g03 = 0, ?33 = -1
при подходящем выборе функций ф, г|) и % в преобразовании (10.7) (эти функции определяются как интегралы некоторой системы уравнений типа Коши — Ковалевской).
Таким образом, метрический тензор пространства Эйнштейна, допускающего абсолютно параллельное векторное поле, в общем случае представим в виде
(EiQ 0 \ I 1 0 0 0 1 *<# = [<? 0 А 0 h (10'8)
\о о 0 -1/
где A1 E1 Q — функции координат X01 X21 Xz1 удовлетворяющие уравнениям (10.2) — (10.3), причем уравнение (10.3) принимает вид
#0330 - #0220 = (10'9)
Пользуясь полученными ранее необходимыми и достаточными условиями для полей вырожденного типа 2, связанными лишь с первыми производными от векторных полей (что приводит к дальнейшему упрощению уравнений поля) [74], Кайгородов свел произвол в определении функций E1QhAk единственному (оставшемуся непроинтег-рированным) уравнению второго порядка (10.9).
Окончательный результат этих исследований можно сформулировать так: для того чтобы пространство Эйнштейна допускало изотропное абсолютно параллельное поле Ix1 необходимо и достаточно, чтобы в некоторой системе координат вектор Za выражался в виде Za = б?, а метрика V4 принимала вид (10.8), где функции E1Q1A
115 определяются соотношениями
A = -1, Q = 2ех3, El22 + El33 = 4* (е = О, 1) (первый класс решений) или соотношениями
А = - b3 + а]2, В = tIb (х*2 + 2а#3), Д,22 + (*3 + а)2 Я,33 ~ J3T^ E92 + (*3 + а) Е* +
+ gn^ [^2 (*3 + а? - 4*3 (*3 + a) (U2)10 - (.X3 + а)2 а,00 -— 4г3а,20 (х3Х + а) + 4 я3а,2а,0 A,] = О, X, = const, а = а (ж0, ж2), Ь = Ъ (я0)
(второй класс решений).
Легко убедиться, что перечисленные выше волновые решения Переса, Такено и Петрова являются частными случаями двух выделенных Кайгородовым и Пестовым классов решений, либо приводятся к ним допустимыми преобразованиями координат.
2. Абсолютно параллельное векторное поле в непустом пространстве — времени
Класс решений вида (10.1) допускает обобщение на случай непустого пространства — времени [91].
Пусть пространство — время F4 имеет метрику вида (10.1), удовлетворяющую (кроме условия dg^Jdx1 = 0) только трем уравнениям (10.2). Вычисляя компоненты іензора Риччи i?a?, легко убедиться, что девять его компонент из десяти тождественно обращаются в нуль, а единственная отличная от нуля компонента имеет вид
Яоо = —(^4^0330 + ^^0220 — 2 DR0230).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для такой метрики удовлетворяются условия Рай-нича — Уилера (7.14) и Нордтведта — Пагельса (7.15), определяющие тензор энергии — импульса изотропного электромагнитного поля.
Однако полученное таким образом решение уравнений тяготения описывает распространение не только электромагнитных, но и гравитационных волн, так как удовлетворяет критерию полного гравитационного излучения
116 Лихнеровича (гл. 6). Действительно, так как пространство F4 с метрическим тензором (10.1) допускает конгруэнцию линий тока ковариантно постоянного вектора Z®, то этот вектор удовлетворяет второму из условий Лихнеровича (6.11). Подставляя затем векторное поле Za = и выражения для компонент тензора Римана в первую систему условий Лихнеровича, (6.10), можно убедиться, что она удовлетворяется тождественно.
