Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
106 плоских электромагнитных волн, допускает определенную группу симметрии. Такой группой является группа движений G5, которая оставляет неизменной изотропную гиперповерхность в F4. Уравнение этой гиперповерхности (описывающее фронт волны) в некоторой системе координат имеет вид
X1 — X0 = const. (9.14)
Петров [57] показал, что существует только одно пространство F4 сигнатуры 2, допускающее группу движений G5J действующую транзитивно на изотропной трехмерной гиперповерхности. В системе координат, отвечающей (9.14), его интервал записывается в виде
ds2 = - Adxl2 - 2D W — В dx*2 — С da?2 + С dx°'\
(9.15)
где Ay B1 С и D—функции запаздывающего аргумента X1 — X09 удовлетворяющие дифференциальному уравнению
Mn (In M)' - Mt (In С)' - AtB' - (Z)')2 = О,
в котором M = AB — D2 0, а штрих означает дифференцирование ПО X1-X0.
Иохари [154], опираясь на результаты Такено [153], обобщил определение Бонди — Пирани — Робинсона на случай непустых пространств F4, удовлетворяющих уравнениям (7.13). Хэли [112] и Иохари [154] рассмотрели понятие плоскополяризованной гравитационной волны и определили параметры поляризации. (Ранее такого рода вопросы обсуждал Розен [155], а также Бордман и Бергман [156].) В этой же связи представляет самостоятельный интерес работа Аве [157], где предложено определение монохроматической гравитационной волны. На этой работе нам предстоит остановиться подробнее.
5. Монохроматические гравитационные волны.
Определение Аве
Следуя общей электромагнитной аналогии, Аве [157] называет гравитационную волну монохроматической, если соответствующий волновой вектор (2.25) является гармоническим, т. е. удовлетворяет уравнению
(Y~g О.« = = о. (9,16)
107 В этом случае гармонической является также комплексная функция U — ехр (гф):
(/=7*"?).. = О- (9-17)
причем этот факт инвариантен относительно замен ф->/(ф), где / — любая функция класса С2. Благодаря этому Аве мог исследовать монохроматическую гравитационную волну как поле простой периодической функции U (#а).
Пусть волновой вектор Iа удовлетворяет условию (9.1) и, кроме того, отвечающая ему изотропная геодезическая конгруэнция обладает равным нулю растяжением:
Zfa = 0. (9.18)
Тогда, очевидно, он удовлетворяет уравнению (9.16) и является гармоническим; а соответствующая плоская гравитационная волна (в смысле Кундта) будет монохроматической.
Аве наиболее полно исследовал вопрос о типах пространств F4, допускающих интерпретацию на языке монохроматических гравитационных волн. Он исходил из уравнений Эйнштейна (1.1), использовав справа (в качестве Ta р) тензор энергии — импульса системы идеальная жидкость плюс электромагнитное поле:
r«? = X[(p + p)KaM?-p?e? + 4- F^* Sa? - V??]-
-4-©?a?. (9.19)
Здесь p, p и U0L — плотность, давление и 4-скорость, X и © — константы, определяющие произвол в выборе тензора энергии — импульса.
Решение задачи дается следующей теоремой Аве: поля тяготения, определяемые тензором энергии — импульса (9.19), допускают монохроматические гравитационные волны только в том случае, если
1) P = р = 0 (т. е. источником является только электромагнитное поле);
2) фронт гравитационной волны ф (ха) определяется условием
h\a = Z«8? + Z?ea> (9-20)
где ea — некоторый вектор, ортогональный Za;
108 3) волновой вектор Icl является собственным вектором тензора Fa?:
FapIa = X-I,. (9.21)
Замечая, что при этих условиях
IbRafryb = (fX«? — H?a) ^y + ^?M'aY — ^af^?v»
f*a? = 8?;a — 8a8?
и вычисляя по Дебеве величины
RoL?ybl?lb, 1Ч\
убеждаемся, что в случае пустого пространства — времени (Гар = 0) они обращаются в нуль, т. е. удовлетворяют уравнениям (5.20). Это, согласно второму критерию Беля, означает, что данное поле тяготения принадлежит к типу N или III по Петрову. Таким образом, пустое пространство — время описывает монохроматические гравитационные волны только в том случае, если оно принадлежит к типу N или III по Петрову.
Для получения точных решений уравнений Эйнштейна, описывающих монохроматические гравитационные волны, удобно воспользоваться такой координатной системой, в которой компоненты метрического тензора явно выражаются через гармоническую функцию
В этом случае g^, рассматриваемые как потенциалы гравитационного поля, обнаруживают полную аналогию с вектор-потенциалом плоской монохроматической электромагнитной волны [151]:
где a^v — постоянный симметричный тензор (аналог амплитуды периодических колебаний). Выберем в качестве «тензора амплитуд» a^v тензор
U (ха) = ехр (іф).
(9.22)
Aa = аа ехр і (kr — (ut).
Пусть, например, решение ищется в виде (00)
g^v = gViv + 2a^u (х ),
(9.23)
(9.24)
109 где Z11 — постоянный изотропный вектор и 8ц — ортогональный к нему постоянный вектор 1J. Пусть далее эйконал ф в выбранной системе координат имеет вид
(00) д
ф = laxa = ga?lax?, (9.25)
так что
U (ха) = A0 cos (IaXa) + B0 sin (laxa) (А0, B0 = const).
(9.26)
Подстановкой в уравнения (2.2) теперь можно убедиться [159], что в принятых предположениях метрика (9.23) — (9.26) описывает пустое F4, отвечающее плоским монохроматическим гравитационным волнам. Аналогия между таким полем тяготения и полем плоских монохроматических электромагнитных волн оказывается еще более наглядной, если метрику (9.23)-(9.26) представить в эквивалентной форме [159]:
