Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(00)
^v = gViv + 2?*, (9.27)
*
V = «іJLV ехр [ilaxa] + Ctv^ ехр [— tlaxa]9 (9.28)
* і _
V» V = -у (^ev + IyfBv) (A0 + іB0). (9.29)
Известная метрика Переса [160]
ds2= dx°2 -dx12 -dx2 2 -cfc3 2 - 2/ (dx° + dx3)2 (9.30) также принадлежит к классу метрик (9.23), если положить T3 = Z = / (#\ X21 и), = и = + &33 = ttOO — Яоз ~ — 1
(остальные компоненты a^v равны нулю). При этом урав-нения поля (2.2) сводятся к единственному условию гармоничности функции / по аргументам х1 и х2:
Ul + /,22 = 0. (9.31)
1J В системе координат, где метрика ^v имеет вид (9.23), соот-
ношения, выражающие ковариантное постоянство и ортогональ-
ность векторов, приобретают простой вид обычных соотношений постоянства и ортогональности относительно галилеевой метрики.
110 ГЛАВА 10
ПЛОСКИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ АБСОЛЮТНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ВЕКТОРНЫМ ПОЛЕМ
1. Плоские волны в пустом пространстве — времени
Как мы уже знаем из гл. 9, траектории распространения (лучи) плоской гравитационной волны в смысле Кундта для полей типа N в пустом пространстве определяются абсолютно параллельным, или, иными словами, ковариантно постоянным, изотропным векторным полем Za.
Можно доказать и обратное [105]: всякое пустое пространство — время, допускающее абсолютно параллельное векторное поле Za, принадлежит к типу N по Петрову, причем вектор Za является изотропным и единственным. Это вытекает из условий интегрируемости уравнений Z?? = 0, имеющих вид (6.11), и результата Дебеве (3.29).
Таким образом, абсолютно параллельное векторное поле в пустом пространстве определяет конгруэнцию изотропных геодезических, представляющих собой траектории распространения плоских гравитационных волн по Кундту.
Как показал Эйзенхарт [161] (см. также Кручкович — Солодовников [162]), метрический тензор пространства F4, допускающего единственное изотропное абсолютно параллельное векторное поле Za, представим в виде
[Ei Q F\
/ 1 0 0 0 1
= l Q OA Dy (10Л)
\F О D В)
TReA1B1D1 E1 F1 Q — функции координат х°> я3, причем в той же системе координат вектор Za имеет вид a = б?.
Для метрики (10.1) из двадцати существенных компонент тензора Римана отличны от нуля только шесть:
#3230» ^3202, #0202» #3232» І?0303> #0203- Из ДЄСЯТИ УраВНвНИЙ
поля (2.2) шесть удовлетворяются тождественно, а из остальных четырех — три уравнения принимают вид
-^3232 -^3230 = ^3202 = 0» (10.2)
111 где
1 1
#3223 = -0,23--2" ^*38 --T ^*8 ~ +
+ Bfi (BfiA - Ai3D) + Bfi [ AaD - А (2Di2 - At3)] -
- (2/),3 - Bfi) [AfiB - D (2Dfi - Ai3)]},
#8220 = 4 Wo2 - 4оЗ + <?,23 - F,n) + (Dt0+ Ffi-QJ X X (At3D - ABfi) + А,о (At3B - BfiD) + (Bt3 + D0 - Fl2) X X [D(2Dfi - - AfiB] + Btо Mi2D + Л (Л,3 - 2Z>,a)]t
^3230 = "2" (^,02 — Доз — (?,33 — ^,2з)
+ Tg {(До + <?.з - *\2) (4з# - BfiD) + Bt0 (ABfi - AfiD)+ + (Dt0 + Ffi - Qt3) [D (Bfi - 2Dl3) - ABt3] +
+ At0IB (2Dt3-Bfi)-Bt3D]], g = deqga?l = AB-D*<0.
Последнее уравнение поля связывает оставшиеся компоненты тензора Римана:
¦^#0330 ~Ь ##0220 — 2D#0230 = 0, (10.3)
где
1 1
#0220 = --2~ + ^.22) + -Ц ((До — — QJ X
X \2At0D + A (Qt9 - Ffi - Dt0)] - (A0)2 в + (Я,з - 2FJ х X [Д2D + A (At3- IDfi)] + (Efi - 2 Qfi) X
X [#l8D + #(#ia-2Di8)]},
#0330 = pM--(#,00 + Е,яз) + {(До + Q,з — FJ X
X [25,0D + В (Qt3 + Fi2 - Dt0)] -- A (Bt0)* + (2Ft0 - Et3) [AB,з + D (Bfi - 2DJ] +
+ (Efi - 2QJ [Bt3D + B (Bfi - 2D,3)]},
#0230 = -?" (^,oa + ^,оз — 4. — ?,oo)—
- -?- «До + #,3 - F,2) 1#До - Я (До + - QJ] +
+ Btо [4 (D,0 + Fl2 - Qt3) - DAt0] + (2<?,о - Efi) х
X (Dtfl2 - BAt3) + (2Ft0 - Et3) (DAt, - Л#,а)}.
112 Таким образом, общая метрика (10.1), удовлетворяющая четырем уравнениям поля (10.2) — (10.3), определяет класс точных решений уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, удовлетворяющих волновым критериям Лихнеровича и Зельманова, а также определению плоских гравитационных волн Кундта. Можно показать, что этот класс включает в себя ряд известных решений уравнений Эйнштейна, принадлежащих к вырожденному типу II по Петрову, в частности решения Такено [153, 163], Переса [160] - (9.30), Петрова [57] - (9.15) и др.
Так, метрика Переса (9.30) простым преобразованием координат (поворотом осей в плоскости (ж0, ж3)) приводится [164] к виду
1 0 0
0 0 0
0 -1 0
0 0 —1
^ = n п _4 п . (10.4)
Очевидно, метрика (10.4) есть частный случай метрики (10.1) при
A=B = - 1, D = Q = F = 0,
E = i+f (х\ X21 я3).
При этом уравнения поля (10.2) удовлетворяются тождественно, а уравнение (10.3) приводится к условию гармоничности функции / по аргументам и #3:
/,22 + /,33 =
Метрика Такено [153]
ds2 = - A dx12 - 2D dx4x2 - В dx22 - (Р - S) da?2 -
- 25 W + (P + S) dx°2, (10.5)
где A1B1D1P1S- функции аргумента х? — X0y а квадратичная форма
dl2 = Adxl2 + 2D dxxdx2 + Bdx227
положительно определенная, является решением уравнений (2.2), если
Mt33 - (Mt3)V2M - Ai3BtsI(Di9)2 = 0, M = AB- D2.
113 Можно показать [165], что данную метрику, как и метрику Петрова (9.15), можно преобразованием координат и их тривиальной перенумерацией привести к виду
