Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ik1jlj2.-jq ^ Ґ 1 Ік jtJlj2-- jq ijl kj2...jq
r\
р/с rpili2 ir Гк TiI^ «Г I р/с ° ir /1 O?\
" 1U2iJ1ZC ..jq 1U9iJlJ2 -k + 1U^awiJlJ2 -jq' I1-^
В частности, ковариантная производная по Картану от скалярной функции определяется по правилу
дФ L, дФ *•(.,,) = ^ + T^k- (1.27) 1.1. Релятивистская кинетическая теория
17
Легко показать, что правило Лейбница для дифференцирования произведения остается справедливым и для операции ковариантного дифференцирования по Картану.
Отметим, что производная по Картану от вектора pi равна нулю.
Ковариантное дифференцирование по Картану является тензорной операцией. Покажем, например, что У,Ф является ковариант-ным вектором. Доказательство проведем непосредственными вычислениями. Выпишем выражение для V,/ в новой системе координат, обозначаемой штрихами:
Производные вычислим как производные от сложной функции Ф(х,р), где Xt — Xt (xk ), Pj = ^tPj' ¦ В результате получаем:
« ж, / /ч ґдФ\ дх* ґдФ\ д (дх>' \
v.*(XV) = ^Jp ^7 + ^77 ^pj-J +
к. , {дФ\ дх>' _ Oxi (дФ\
Гг*' ^L^iL д2хк' дх'дхкі
+ [rj'«'aa.fc' dxj + дхідхз дхі> Qxk'\Pk \dPj)x'
Воспользуемся законом преобразования символов Кристоффеля
[б]:
г* -г*' 92Zk' дхк
%3 J 1 дхк' дхі дх' OxiOxi дхк''
Bxi дх*'
Умножая обе части последнего равенства на J^r и суммируя по г, получим
Тк<&__ Tk' д2хк> дх1 дхк
із Qxv - j'i' дхк> dxj + дхідхз дхі> дхк>'
В результате выражение для \7,/Ф(я',//) принимает вид:
^-?{(?).-^(5).}- 18
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
и мы получаем закон преобразования ковариантного вектора
дх* ~
Т7>,Ф(х',р') =^7VMx1P), (1.28)
что и требовалось доказать.
Введение операции ковариантного дифференцирования по Картану позволяет записать бесстолкновительное кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения в ковариантном виде:
р{Ч{Ф{х,р) = 0. (1.29)
Если тензоры в пространстве опорных элементов являются функциями от координат хг координатного пространства и контравари-антных координат опорного вектора рг, то операция ковариантного дифференцирования по Картану определяется вместо (1.26) по формуле
Г7/ТП1І2. Ir _ JlJ2 -J9 ¦ pj і rpki2 ¦• І r і
' Jlj2-J9 ~~ Qxi ^ ik1 Jlj2 -Jq^
>ГІ2Тіік. Іг і і гІг'ГИЬ--^ _ р/с rpiii'j. Іг_
^ ik13\32 - 3q Ґ ik13l32 . 3q Vl1Itj2...jq
Q
р/с HnilI2--Ar р/с 71t l »2 ...ir р/с „J rTi Iі 2 -І r /1 On\
1U2iJiZe-Jg 1U9iJU2 /e " 1U^ ^iJiJ2 ..J9' I1-du^
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма [9]:
Vi j ^=PV2 --ріпФ(х,р) = J -^pV2 ' PinVMx1P). (1.31) п п
Здесь Vj обозначает ковариантную производную по Риччи [6] от тензора в Римановом пространстве. Интеграл вычисляется по области импульсного пространства, которая зависит от выбора точки X координатного пространства. В одной точке х координатного пространства область Q является произвольной ограниченной или неограниченной областью импульсного пространства, а в окрестности этой точки X координатного пространства область интегрирования по импульсному пространству ?(^) получается с помощью параллельного переноса векторов pi вдоль геодезических, соединяющих исходную точку координатного пространства с интересующей нас точкой окрестности. 1.1. Релятивистская кинетическая теория
19
В левой части равенства (1.31) вычисляется ковариантная производная от тензора, зависящего только от координат точек координатного пространства. В правой части равенства под интегралом вычисляется ковариантная производная по Картану от функции распределения.
Для доказательства (1.31) введем геодезические координаты в точке X координатного пространства. В этой точке в выбранной системе координат gij = ?/ij —тензор Минковского, Г^- = 0 и поэтому равенство (1.31) превращается в известную формулу дифференцирования интеграла (собственного или несобственного) по параметру. Условия применимости правила дифференцирования интеграла по параметру мы предполагаем выполняющимися.
Так как в левой и правой частях равенств (1.31) стоят тензоры, то равенство справедливо и в другой произвольной системе координат. А так как точка х координатного пространства выбрана также произвольно, то равенство (1.31) справедливо и в любой точке. Лемма доказана.
Наряду с восьмимерным фазовым пространством с координатами хг и pj мы будем пользоваться и семимерным фазовым пространством с координатами хг и ра и рассматривать в нем тензорные функции, зависящие от пространственных координат и трехмерных ковариантных компонент ра 4-импульса. Четвертая компонента импульса в этом пространстве не является независимой, а определяется из уравнения (1.10).
Ковариантная производная от скалярной функции распределения, определенной в семимерном фазовом пространстве по формуле (1.8), находится по правилу
(L32)
Для доказательства того, что Vif(x\pa) является вектором, заметим, что ковариантная производная по Картану от скалярной функции, определенной в восьмимерном фазовом пространстве, и являющейся произвольной функцией от g%jPiPj обращается в нуль, поэтому
