Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
V4* = 6 -mc) (? + Г-=
= S ( JgijPiPj - mc) Vi/. 20
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Но V1Ф—вектор, S ({д**PiPj)1 J2 - тс) —скаляр. Поэтому заключаем, что V1/—вектор.
Если в качестве координат семимерного фазового пространства выбираются хг и pa , то ковариантная производная по Картану от скалярной функции определится как
= (1.33)
Аналогично лемме (1.31) доказывается равенство
ViJ -I^pV3-у-ЯДр«) = J
ft ft
(1.34)
Здесь слева V,- —оператор ковариантного дифференцирования по Риччи от тензорного поля, справа V, —оператор ковариантного дифференцирования по Картану.
С помощью операции ковариантного дифференцирования по Картану бесстолкновительное кинетическое уравнение для семимерной функции распределения записывается в виде
PiVif(X^p) = 0. (1.35)
1.1.4 Бесстолкновительное кинетическое уравнение как закон сохранения числа частиц
Рассмотрим малый элемент пространственно подобной гиперповерхности AE1 в окрестности точки хг. Число частиц, пересекающих ДЕ,-, имеющих импульсы внутри объема Q
равно (см. (1.12))
AN(X1P)= J dZiJ J^p'/fop).
ДЕ П
В частности, если гиперповерхность есть г = const и система координат локально лоренцева, так что в точке хг д,j = щ , ДЕ,- = SfA3X , 1.1. Релятивистская кинетическая теория
21
то
AN(xiP)= J d3x J d3pf(x,p).
A3X ft
Следовательно, в локально лоренцевой системе отсчета функция распределения J(XiP) имеет смысл плотности числа частиц в шестимерном фазовом пространстве с координатами XociPa .
Если нет столкновений, то частицы, которые пересекли элемент гиперповерхности ДЕ в окрестности точки хг, с импульсами, заключенными в объеме Q с центром в точке Pot импульсного пространства, через промежуток собственного времени ds пересекут элемент гиперповерхности ДЕ в окрестности точки хг с импульсами, заключенными внутри объема Q с центром в точке pQ импульсного пространства. Величины X и р определяются из уравнений для геодезических (1.3). Для достаточно близких точек х и х имеем
Pi
хг ~ хг H--ds,
тс
Pa^Pa + ^Tkaj(X)PkPj ds. Число этих частиц, пересекающих гиперповерхность ДЕ, равно
AN(z,p)= J dZi J
ДЁ ft
Рассмотрим теперь элемент объема четырехмерного пространства, заключенный между элементами поверхностей ДЕ и ДЕ и поверхностью трубки, образуемой мировыми линиями частиц. Поскольку нас интересует случай без столкновений, ни одна мировая линия частиц не пересекает поверхность трубки. Это означает, что AN = AN:
I/ ~ /^/ T^hpif{x'p)=(L36)
ДЁ ft ДЕ ft
или, что то же самое,
jdHi J -J=^pif(x,p) = О, (1.37)
П(г) 22
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
где в каждой точке х координатного пространства интегрирование в импульсном пространстве происходит по области Q(ж), полученной с помощью параллельного переноса импульсов вдоль геодезических из исходной области Q импульсного пространства, связанной с исходной точкой X координатного пространства на первой из гиперповерхностей ДЕ.
Применим к интегралу (1.37) обобщенную теорему Гаусса [4]. Имеем
\ «(с) /
Воспользуемся тождеством [4]
^r (V^Ai) = V^gViAi,
справедливым для любого векторного поля. С помощью этого тождества получаем закон сохранения числа частиц в виде
Vm*) /
(1.38)
где первый слева интеграл вычисляется по выбранному элементу четырехмерного пространства.
Воспользуемся теперь леммой (1.34):
Jy^d4X J -^piVif(Xip) = Oi (1.39)
или для достаточно малых объемов четырехмерного пространства— времени и импульсного пространства
A4X^piVif(Xyp) = 0. (1.40)
P4
Ввиду произвольности в выборе элементов объема получаем, что из закона сохранения числа частиц в фазовом пространстве следует бесстолкновительное кинетическое уравнение
PiVJ(XlP) = O. 1.1. Релятивистская кинетическая теория
23
на одночастинную функцию распределения.
Таким образом, бесстолкновительное кинетическое уравнение выражает собой закон сохранения числа частиц в любом объеме семимерного фазового пространства, который выполняется в отсутствие столкновений частиц.
1.1.5 Кинетическое уравнение с интегралом парных столкновений
Здесь мы приведем феноменологический вывод релятивистского кинетического уравнения на одночастичную функцию распределения f(x,p) с учетом парных столкновений. В пространствах общей теории относительности это уравнение получено Н. А. Черниковым (см. [10]—[12]). Оно является обобщением кинетического уравнения Больцмана на релятивистский газ в пространстве общей теории относительности. Приведенный ниже вывод релятивистского кинетического уравнения является простым обобщением вывода релятивистского кинетического уравнения в рамках специальной теории относительности, приведенного в [13].
В отсутствие столкновений число частиц в любом объеме
V^A4Z
4 A 3Р
VirSip4
семимерного фазового пространства остается постоянным. В результате столкновений число частиц в этом объеме изменяется на величину, которую запишем как
Д 4х^С(х,р), (1.41)
P
причем так как
4 Д Зр — 4 Д Зр A4x—f = у/^дА х-
