Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Обобщение на релятивистский случай имеет вид:
P1aVifa(X1Pa) = ^Cab(XtPa), (1-70)
6
где
Саь=I ^b I ^c I MiMfdx
X (1 - ea<pa)(l - eb<Pb)Wcd\ab - /а/б(1 " 0с<рс)(1 - ed<pd)Wab[cd}. (1.71)
Здесь фа = lPa(XjPa)—функция чисел заполнения, связанная с классической функцией распределения fa(x,pa) равенством
/. = рйр., (1-72)
да—фактор вырождения, h—постоянная Планка.
Для статистики Больцмана в = 0 и получаем классическое уравнение переноса. Для частиц с целым спином в = — 1. Для частиц с полуцелым спином ?=1. 1.1. Релятивистская кинетическая теория
31
1.1.8 Законы сохранения
Докажем полезные свойства интегралов столкновений Cba > стоящих в правых частях кинетических уравнений (1.62).
Для упругих столкновений выполняется соотношение
/
-^1Cba = о (1.73)
для каждого парциального члена столкновений в отдельности.
Для доказательства (173) подставим (1.63) в (1.73) и в интеграле от f'bf'aWba{Pb,Pa I Рь,Pa) сделаем замену переменных Pb р'ь . Pa
Р'а ¦
[ d3pb _ f d3pb f d3Pa f d3p'b f d3p'a J V^Pt lba J V4ptJ V^PiJ V4p'bJ \f-9v'\
x{fbf'aW(Pb,Pa I РЬРа) ~ fbfaW(pbtpa \ p'b,p'a)} = f d3Pb f d3Pa Г d3p'b f d3p'a
-lbaJ V^PtJ V^PiJ ^gp'tJ
x{fbfaW(pb,Pa I р'ьр'а) ~ fbfaW(pb,pa \ p'b,p'a)} = 0.
Для системы, в которой различные составляющие могут взаимодействовать как посредством упругих, так и неупругих столкновений, выполняется соотношение:
F = Е/ ^К(^) + М*)Р&)Сб«(*,Рь) = о. (1.74)
Здесь bi(x)—произвольный вектор, аь{х)—скалярные функции, аддитивно сохраняющиеся во всех реакциях:
аь(х) + аа{х) = ас(х) + ad(x). (1.75)
Для доказательства (1.74) подставим явное выражение (1.66) в (1.74):
I^ f d3pb [ d3pa f d3pc f d3n
" 2 Лі J ^Pt J V4pi J V=9Pi J V4pfb
d3pb f d3pa f d3pc f d3pd
atbtc}d Л
x{fcfdWcd\ab - fafbWab\cd}, 32
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
где Фь = аь + ЬіРІ.
Перестановив в последнем члене индексы суммирования Ъ с , a d} получим
Iv [ d3pb f d3pa f d3pc f d3pd 2AlJ ^PtJ J=MJ V4piJ V=9P4d
d3Pb f d3pa f d3pc f d3pd
і:
х{Фь - Фc)fcfdWcd\ab.
Переставим индексы суммирования a «->• 6, с d и воспользуемся свойством симметрии (1.67), (1.68):
[ d3pb [ d3pa f d3Pc f d3Pd ^ahJ V^P4J V^PtJ V=9Pd
х{Фа -1>d) JcfdWedlab.
Взяв полусумму двух последних выражений, получим
Iv [ d3pb [ d3pa f d3pc f d3Pd
^PtJ V=MJ V=9PiJ V=9PdX
X (Фа +Фь-Фс- 1>d)fcfdWcd\ab'
В силу определения функций Фа выражение фа + фь — Фс — Фd обращается в нуль, если учесть (1.75) и закон сохранения импульса в бинарной реакции:
Pta + Pb = Pc + Pd-
Свойства (1.73) и (1.74) позволяют получить законы сохранения.
В случае упругих столкновений выполняются законы сохранения числа частиц каждого из сортов. Для их получения проинтегрируем ПО трехмерному импульсному пространству С множителем 1 /yf—gPb обе части уравнения (1.62):
/ =S / Aaa(*'p6)'
Воспользовавшись леммой (1.34) и свойством (1.73) интеграла столкновений получим
ViIii = O, (1.76) 1.1. Релятивистская кинетическая теория
33
где
ni = J ~^4fb(x,pb) (1.77)
—поток числа частиц сорта 6.
Для реагирующей смеси законы сохранения (1.76) для каждого сорта частиц не выполняются, но выполняются законы сохранения для токов
A-Z-J <'•«>
Здесь qa—заряд (электрический, лептонный, барионный) частиц сорта a, который сохраняется при реакциях, происходящих в смеси:
qa + Чъ = qc + Qd- (1.79)
Умножим обе части уравнения (1.62) на qb/yf-gpt и проинтегрируем их по трехмерному импульсному пространству. После суммирования по 6 в левой части уравнения получим ViJtq (при этом вновь использована лемма (1.34)), а в правой части получаем нуль вследствие свойства (1.74) интеграла столкновений при аа = qa , 6; = 0. В результате получаем законы сохранения токов:
ViJtq = 0. (1.80)
Аналогично, умножая (1.62) на p\l\f—Qp\, интегрируя (1.62) по трехмерному импульсному пространству и суммируя по 6, получаем вследствие (1.34) и (1.74) следующий закон сохранения:
ViTij = 0, (1.81)
где
Т* = 5>/ (1.82)
1.1.9 Локальное термодинамическое равновесие и бесстолкновительное приближение
Скорости перехода Wab\cd > введенные нами в предыдущих параграфах обладают двусторонним условием нормировки
5/A/A;Ки-^и]=о. (1-83) 34
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
В частности, в случае упругих столкновений выполняется даже более жесткое условие
WabiPaPb I PaPb) ~ Wab{p'ap'b I PaPb) = 0, (1.84)
что нетрудно видеть из (1.57).
Функции распределения /а(я,ра), удовлетворяющие функциональному уравнению
fa(x,Pa)fb{x,Pb) = /с(я, Pc)fd{x, Pd), (1.85)
где импульсы связаны законом сохранения
Pi+ Рь = Pc+ Pd. (1-86)
обращают, вследствие (1.83), интеграл столкновений (1.66) в нуль. Наиболее общий вид решения уравнения (1.85) есть [17]
'•<'¦*>¦ <5SF«" (Tl)' <187>
где /іа(я), Т(х), и* (ж)—произвольные параметры зависящие от координат X , игщ = 1; при этом
/Іа + /І6 = /ic + /id, (1.88)
если возможны реакции вида a + 6 = с + d.
Интеграл столкновений (1.71), учитывающий квантовые эффекты, обращается в нуль функцией распределения
